- •1 Grundlagen
- •1.1 Logik und Mengen
- •1.1.1 Aussagenlogik
- •1.1.2 Mengen
- •1.2 Zahlen
- •1.2.1 Natürliche Zahlen
- •1.2.2 Ganze Zahlen
- •1.2.3 Rationale Zahlen
- •1.2.4 Reelle Zahlen
- •1.2.5 Ordnung
- •1.2.6 Intervalle
- •1.2.7 Betrag und Signum
- •1.2.8 Summe und Produkt
- •1.3 Potenz und Wurzel
- •1.3.1 Potenzen
- •1.3.2 Potenzgesetze
- •1.3.3 Wurzeln
- •1.3.4 Binomischer Satz
- •1.4 Trigonometrie
- •1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
- •1.5 Gleichungen und Ungleichungen
- •1.5.1 Lineare Gleichungen
- •1.5.2 Potenzgleichungen
- •1.5.3 Quadratische Gleichungen
- •1.5.4 Wurzelgleichungen
- •1.5.5 Ungleichungen
- •1.6 Beweise
- •1.6.1 Direkter Beweis
- •1.6.2 Indirekter Beweis
- •1.6.3 Konstruktiver Beweis
- •1.6.4 Vollständige Induktion
- •1.7 Aufgaben
- •2 Lineare Gleichungssysteme
- •2.1 Einführung
- •2.2 Gauß-Algorithmus
- •2.2.1 Äquivalenzumformungen
- •2.2.2 Vorwärtselimination
- •2.2.3 Rückwärtseinsetzen
- •2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
- •2.2.5 Rechenschema
- •2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
- •2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
- •2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
- •2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
- •2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
- •2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
- •2.4 Numerische Verfahren
- •2.4.1 Jakobi-Iteration
- •2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
- •2.5 Anwendungen
- •2.5.1 Produktion
- •2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
- •2.6 Aufgaben
- •3 Vektoren
- •3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
- •3.2.1 Addition und Subtraktion
- •3.2.2 Skalare Multiplikation
- •3.2.3 Skalarprodukt
- •3.2.4 Vektorprodukt
- •3.2.5 Spatprodukt
- •3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
- •3.3.1 Koordinatendarstellung
- •3.3.2 Addition und Subtraktion
- •3.3.3 Skalare Multiplikation
- •3.3.4 Skalarprodukt
- •3.3.5 Vektorprodukt
- •3.3.6 Spatprodukt
- •3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
- •3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
- •3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
- •3.4.5 Abstände
- •3.4.6 Winkel
- •3.5 Anwendungen
- •3.5.1 Kraft
- •3.5.2 Arbeit
- •3.5.3 Drehmoment
- •3.6 Aufgaben
- •4 Matrizen
- •4.2 Rechnen mit Matrizen
- •4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
- •4.2.2 Multiplikation von Matrizen
- •4.3 Determinanten
- •4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
- •4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
- •4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
- •4.4 Inverse Matrix
- •4.4.1 Invertierbare Matrizen
- •4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
- •4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
- •4.5 Lineare Abbildungen
- •4.5.1 Matrizen als Abbildungen
- •4.5.2 Kern, Bild und Rang
- •4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
- •4.7 Numerische Verfahren
- •4.7.1 Potenzmethode
- •4.8 Anwendungen
- •4.9 Aufgaben
- •5 Funktionen
- •5.1 Einführung
- •5.1.2 Wertetabelle
- •5.1.3 Schaubild
- •5.1.4 Explizite und implizite Darstellung
- •5.1.6 Funktionsschar
- •5.1.7 Verkettung von Funktionen
- •5.2 Polynome und rationale Funktionen
- •5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
- •5.2.2 Polynome
- •5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen
- •5.3 Eigenschaften
- •5.3.1 Symmetrie
- •5.3.2 Periode
- •5.3.3 Monotonie
- •5.3.4 Beschränktheit
- •5.4 Sinus, Kosinus und Tangens
- •5.4.2 Eigenschaften
- •5.5 Grenzwert und Stetigkeit
- •5.5.1 Zahlenfolgen
- •5.5.2 Grenzwert einer Funktion
- •5.5.3 Stetigkeit
- •5.5.4 Asymptotisches Verhalten
- •5.6.1 Exponentialfunktionen
- •5.6.2 Die e-Funktion
- •5.6.3 Hyperbelfunktionen
- •5.7 Umkehrfunktionen
- •5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion
- •5.7.2 Wurzelfunktionen
- •5.7.3 Arkusfunktionen
- •5.7.4 Logarithmusfunktionen
- •5.7.5 Area-Funktionen
- •5.8 Numerische Verfahren
- •5.8.1 Berechnung von Funktionswerten
- •5.8.2 Bisektionsverfahren
- •5.9 Anwendungen
- •5.9.1 Messwerte
- •5.9.2 Industrieroboter
- •5.10 Aufgaben
- •6.1 Steigung und Ableitungsfunktion
- •6.1.3 Ableitungsfunktion
- •6.1.5 Höhere Ableitungen
- •6.2 Ableitungstechnik
- •6.2.1 Ableitungsregeln
- •6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
- •6.2.5 Zusammenfassung
- •6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital
- •6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
- •6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
- •6.4.2 Monotonie
- •6.4.3 Krümmung
- •6.4.4 Lokale Extrema
- •6.4.5 Wendepunkte
- •6.4.6 Globale Extrema
- •6.5 Numerische Verfahren
- •6.5.2 Newton-Verfahren
- •6.5.3 Sekantenverfahren
- •6.6 Anwendungen
- •6.6.1 Fehlerrechnung
- •6.6.2 Extremwertaufgaben
- •6.7 Aufgaben
- •7 Integralrechnung
- •7.1 Flächenproblem
- •7.1.1 Integralsymbol
- •7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
- •7.1.3 Bestimmtes Integral
- •7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
- •7.2.1 Integralfunktion
- •7.2.2 Stammfunktion
- •7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
- •7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
- •7.3 Integrationstechnik
- •7.3.1 Integrationsregeln
- •7.3.2 Integration durch Substitution
- •7.3.3 Partielle Integration
- •7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
- •7.3.5 Uneigentliche Integrale
- •7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
- •7.4.1 Flächeninhalte
- •7.4.2 Bogenlänge
- •7.4.3 Rotationskörper
- •7.5 Numerische Verfahren
- •7.5.1 Trapezregel
- •7.5.2 Romberg-Verfahren
- •7.6 Anwendungen
- •7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
- •7.7 Aufgaben
- •8 Potenzreihen
- •8.1 Unendliche Reihen
- •8.2 Potenzreihen und Konvergenz
- •8.3 Taylor-Reihen
- •8.4 Eigenschaften
- •8.5 Numerische Verfahren
- •8.5.1 Berechnung von Funktionswerten
- •8.6 Anwendungen
- •8.6.1 Normalverteilung in der Statistik
- •8.7 Aufgaben
- •9 Kurven
- •9.1 Parameterdarstellung
- •9.2 Kegelschnitte
- •9.3 Tangente
- •9.4 Krümmung
- •9.5 Bogenlänge
- •9.6 Numerische Verfahren
- •9.6.1 Bézier-Kurve
- •9.7 Anwendungen
- •9.7.1 Mechanik
- •9.7.2 Straßenbau
- •9.8 Aufgaben
- •10 Funktionen mit mehreren Variablen
- •10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
- •10.2 Grenzwert und Stetigkeit
- •10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.2.2 Stetigkeit
- •10.3.3 Gradient und Richtungsableitung
- •10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
- •10.3.6 Extremwerte
- •10.4 Ausgleichsrechnung
- •10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- •10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
- •10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
- •10.5 Vektorwertige Funktionen
- •10.6 Numerische Verfahren
- •10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
- •10.6.2 Gradientenverfahren
- •10.7 Anwendungen
- •10.7.1 Fehlerrechnung
- •10.8 Aufgaben
- •11 Komplexe Zahlen und Funktionen
- •11.1.1 Komplexe Zahlen
- •11.1.2 Gaußsche Zahlenebene
- •11.1.3 Polarkoordinaten
- •11.1.4 Exponentialform
- •11.2 Rechenregeln
- •11.2.1 Gleichheit
- •11.2.2 Addition und Subtraktion
- •11.2.3 Multiplikation und Division
- •11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
- •11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
- •11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
- •11.3.1 Potenzen
- •11.3.2 Wurzeln
- •11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
- •11.4 Komplexe Funktionen
- •11.4.1 Ortskurven
- •11.4.2 Harmonische Schwingungen
- •11.4.3 Transformationen
- •11.5 Anwendungen
- •11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung
- •11.6 Aufgaben
- •12.1 Einführung
- •12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
- •12.2.1 Separation der Variablen
- •12.2.2 Lineare Substitution
- •12.3.3 Allgemeine Eigenschaften
- •12.4.1 Allgemeine Form
- •12.4.2 Freie Schwingung
- •12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
- •12.4.4 Frequenzgänge
- •12.5.1 Eliminationsverfahren
- •12.5.2 Zustandsvariablen
- •12.5.5 Stabilität
- •12.6 Numerische Verfahren
- •12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
- •12.7 Anwendungen
- •12.7.1 Temperaturverlauf
- •12.7.2 Radioaktiver Zerfall
- •12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
- •12.7.4 Feder-Masse-Schwinger
- •12.7.5 Pendel
- •12.7.6 Wechselstromkreise
- •12.8 Aufgaben
- •13 Fourier-Reihen
- •13.1 Fourier-Analyse
- •13.1.1 Periodische Funktionen
- •13.1.2 Trigonometrische Polynome
- •13.1.3 Fourier-Reihe
- •13.1.4 Satz von Fourier
- •13.1.5 Gibbssches Phänomen
- •13.2 Komplexe Darstellung
- •13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
- •13.2.3 Spektrum
- •13.2.4 Minimaleigenschaft
- •13.3 Eigenschaften
- •13.3.1 Symmetrie
- •13.3.2 Integrationsintervall
- •13.3.3 Mittelwert
- •13.3.4 Linearität
- •13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •13.3.6 Zeitverschiebung
- •13.4 Aufgaben
- •14 Verallgemeinerte Funktionen
- •14.1 Heaviside-Funktion
- •14.2 Dirac-Distribution
- •14.3 Verallgemeinerte Ableitung
- •14.4 Faltung
- •14.5 Aufgaben
- •15 Fourier-Transformation
- •15.1 Integraltransformation
- •15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
- •15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
- •15.2 Eigenschaften
- •15.2.1 Linearität
- •15.2.2 Zeitverschiebung
- •15.2.3 Amplitudenmodulation
- •15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •15.3 Inverse Fourier-Transformation
- •15.3.2 Vertauschungssatz
- •15.3.3 Linearität
- •15.4.3 Multiplikationssatz
- •15.4.5 Faltung
- •15.5 Periodische Funktionen
- •15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
- •15.5.3 Grenzwertbetrachtung
- •15.6 Anwendungen
- •15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
- •15.7 Aufgaben
- •16 Laplace-Transformation
- •16.1 Bildbereich
- •16.2 Eigenschaften
- •16.2.1 Linearität
- •16.2.2 Ähnlichkeit
- •16.2.3 Zeitverschiebung
- •16.2.4 Dämpfung
- •16.3.2 Integration
- •16.3.3 Faltung
- •16.3.4 Grenzwerte
- •16.4 Transformation periodischer Funktionen
- •16.5 Rücktransformation
- •16.7 Anwendungen
- •16.7.1 Regelungstechnik
- •16.8 Aufgaben
- •17 z-Transformation
- •17.1 Transformation diskreter Signale
- •17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
- •17.2 Eigenschaften
- •17.2.1 Linearität
- •17.2.2 Verschiebung
- •17.2.3 Dämpfung
- •17.4 Anwendungen
- •17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort
- •A Anhang
- •A.1 Ableitungsregeln
- •A.2 Ableitungen
- •A.3 Potenzreihen
- •A.4 Integralregeln
- •A.5 Integrale
- •A.6 Fourier-Reihen
- •A.7 Fourier-Transformationen
- •A.8 Laplace-Transformationen
- •A.9 Griechisches Alphabet
- •A.10 Bedeutende Mathematiker
- •Literaturverzeichnis
- •Sachwortverzeichnis
13.1 |
Fourier-Analyse |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
537 |
||||
Definition 13.4 (Grundschwingung und Oberschwingungen) |
|
|
|||||||||||||||||
Die Funktion f mit Periode T und der Fourier-Reihe |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f |
t |
) = |
a0 |
∞ |
ak cos |
( |
k ω t |
bk sin |
( |
k ω t |
ω |
= |
2 π |
, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( |
+ kQ1 ( |
|
) + |
|
)) |
|
T |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
besitzt folgende Schwingungsanteile: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
die 1. Harmonische (Grundschwingung) |
a1 cos |
( |
ω t |
b1 sin |
( |
ω t |
||||||||||||
L . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 cos |
|
|
) + |
) |
||||
L |
die 2. Harmonische (1. Oberschwingung) |
(2 |
ω t) + b2 sin |
(2 |
ω t) |
||||||||||||||
L
13.1.5 Gibbssches Phänomen
Ein spannende Frage lautet nun: Wie verhalten sich Fourier-Reihen an Unstetigkeitsstellen? Dazu betrachten wir zunächst ein einfaches Beispiel.
Beispiel 13.7 (Rechteckfunktion)
Die Rechteckfunktion in Beispiel 13.1 hat die Periode T = 2. Somit verwenden wir eine Fourier-Reihe mit Kreisfrequenz ω = π. Das Integral über die Funktion f im Bereich zwischen −1 und 1 ist null, deshalb ist a0 = 0 und somit auch der Mittelwert m = 0. Die Berechnung der Kosinuskoe zienten ak erfolgt über
ak = |
2 |
1 |
|
2 |
−1 f(t) cos(k π t) dt. |
||
|
|
|
S |
Die Rechteckfunktion ist ungerade, und die Funktionen cos(k π t) sind alle gerade. Das Produkt einer ungeraden mit einer geraden Funktion ist eine ungerade Funktion. Das bestimmte Integral einer ungeraden Funktion über einem zum Nullpunkt symmetrischen Intervall ist null. Es gilt ak = 0 für alle k. Die Sinuskoe zienten bk berechnet man durch
|
2 |
1 |
bk = |
|
S−1 f(t) sin(k π t) dt. |
2 |
Die Rechteckfunktion ist ungerade, und die Funktionen sin(k π t) sind auch alle ungerade. Das Produkt einer ungeraden mit einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion.
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
t |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
p1(t) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
t |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
p3(t) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
t |
|
|
−1 |
|
|
|
|
538 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
Fourier-Reihen |
|||
Der Wert des bestimmten Integrals über dem Inter- |
|
f(t) |
|
p31(t) |
||||||||||||||
vall |
|
1, 0 |
|
ist gleich dem Wert des bestimmten In- |
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
tegrals über dem Intervall |
|
0, 1 . Somit brauchen wir |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
[− |
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nur von |
0 |
bis |
1 |
zu |
integrieren. In diesem Bereich hat |
−2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
t |
||||||
|
|
|
[ |
] |
|
|||||||||||||
die Funktion f den konstanten Wert 1. Also gilt für |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
die Koe zienten |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
Š(−1) |
k |
− 1• . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
bk = 2 S0 f(t) sin(k π t) dt = 2 S0 |
sin(k π t) dt = − k π cos(k π t)V0 |
= −k π |
|
|||||||||||||
Das Ergebnis lässt sich folgendermaßen zusammenfassen:
ak 0, |
|
für alle k, |
bk |
¢ |
0 |
|
für |
k |
gerade |
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
¨ |
|
k π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ¦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
für k ungerade . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dadurch ergibt sich die Fourier- |
Reihe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
f(t) = |
|
‹sin (π t) + |
|
sin (3 |
π t) + |
|
sin |
(5 π t) + |
|
|
sin (7 |
π t) + . . .• . |
Ì |
||||
π |
3 |
5 |
7 |
||||||||||||||
Das Konvergenzverhalten der Fourier-Reihe der Rechteckfunktion ist typisch für unstetige Funktionen mit Sprungstellen. Im Vergleich zu Fourier-Reihen stetiger Funktionen ist die Konvergenzgeschwindigkeit bei unstetigen Funktionen deutlich geringer.
Konvergenz der Fourier-Reihe bei unstetigen Funktionen
Bei unstetigen periodischen Funktionen konvergiert die Fourier-Reihe langsamer als bei
stetigen Funktionen. Die Fourier-Koe zienten ak und bk klingen proportional zu 1 ab: k
ak, bk ≈ 1 . k
An Sprungstellen treten bei Fourier-Reihen generell Überund Unterschwinger auf. Dieser E ekt ist nach seinem Entdecker, dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs benannt.
Satz 13.3 (Gibbssches Phänomen)
Die Fourier-Reihe einer unstetigen Funktion hat in der Nähe einer Sprungstelle Überschwinger. Die Höhe der Überschwinger beträgt im Grenzwert ungefähr 18 % der Sprunghöhe. An der Sprungstelle selbst konvergiert die Fourier-Rei- he gegen den Mittelwert aus linksseitigem und rechtsseitigem Funktionsgrenzwert.
≈ 9 % |
t |
≈ 9 % |