10.8 Aufgaben

Verständnisaufgaben

Aufgabe 10.1

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen und erstellen Sie eine

Rechenaufgaben

Aufgabe 10.2

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der folgenden Funktionen:

a)Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f.

b)Berechnen und skizzieren Sie die Schnittkurven mit den Ebenen parallel zur x-z-Ebene und zur y-z-Ebene. Welche Höhenlinien besitzt f?

c)Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen fx und fy. Wo ist die Tangentialebene parallel zur x-y-Ebene?

d)Wie lautet das totale Di erenzial von f an der Stelle (x0, y0) = (1, 1)? Geben Sie mithilfe des totalen Di erenzials näherungsweise die Änderung des Funktionswertes an, wenn sich an der

a)Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion f.

b)Skizzieren Sie die Höhenlinien der Funktion f für die z-Werte z1 = 1, z2 = 2, z3 = 3.

c)Wie lautet die Tangentialebene an das Schaubild der Funktion f an der Stelle (x0, y0)?

d)Wie groß ist die Richtungsableitung in Richtung des Winkels α = 60○ an der Stelle (x0, y0)?

e)In welcher Richtung hat die Richtungsableitung an der Stelle (x0, y0) ihren größten Wert?

Aufgabe 10.7

Zu den Punkten in der Ebene mit den Koordinaten (−1 S 1), (0 S 0), (1 S 1) und (2 S 3) wird eine Ausgleichsparabel f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 gesucht, die die Summe der Fehlerquadrate minimiert:

a) Bestimmen Sie die Funktion der Fehlerquadrate

e(a0, a1, a2) = (f(−1) − 1)2 + (f(0))2 + (f(1) − 1)2 + (f(2) − 3)2 .

b)Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der Fehlerfunktion e(a0, a1, a2) und bestimmen Sie damit alle Extremwerte von e(a0, a1, a2).

c)Wie lautet die Funktionsgleichung der Ausgleichsparabel?

Aufgabe 10.8

Zu den Punkten im Raum mit den Koordinaten (0 S 0 S 0), (1 S 0 S 1), (0 S 1 S 2) und (1 S 1 S 4) wird eine Ausgleichsebene f(x, y) = a00 + a10x + a01y gesucht, die die Summe der Fehlerquadrate minimiert:

a) Bestimmen Sie die Matrix A und den Vektor b für das überbestimmte lineare Gleichungssystem Aa = b und berechnen Sie mithilfe der transponierten Matrix AT die gesuchten Größen

a = (a00, a10, a01).

b)Wie groß ist die Summe der Fehlerquadrate?

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 10.9

Das Volumen eines Kreiszylinders mit Radius r und Höhe h lässt sich durch die Formel V = π r2 h berechnen. Der Durchmesser d = 100 mm und die Höhe h = 50 mm wurden mit einem Messschieber mit der Genauigkeit ±10−2 mm ermittelt. Schätzen Sie den maximalen relativen Fehler des Volumens mithilfe des Di erenzials.

Aufgabe 10.10

Das Gewicht eines Bleches von der Gestalt eines Kreissegments mit Radius r und Mittel-

a)Wie viel Prozent beträgt näherungsweise der maximale relative Fehler von G?

b)Bei welcher Größe lohnt es sich am meisten, die Messgenauigkeit zu steigern?

Aufgabe 10.11

Berechnen Sie mithilfe des totalen Di erenzials die Oberflächenänderung O dO eines Zy-

exakten Wert.