- •1 Grundlagen
- •1.1 Logik und Mengen
- •1.1.1 Aussagenlogik
- •1.1.2 Mengen
- •1.2 Zahlen
- •1.2.1 Natürliche Zahlen
- •1.2.2 Ganze Zahlen
- •1.2.3 Rationale Zahlen
- •1.2.4 Reelle Zahlen
- •1.2.5 Ordnung
- •1.2.6 Intervalle
- •1.2.7 Betrag und Signum
- •1.2.8 Summe und Produkt
- •1.3 Potenz und Wurzel
- •1.3.1 Potenzen
- •1.3.2 Potenzgesetze
- •1.3.3 Wurzeln
- •1.3.4 Binomischer Satz
- •1.4 Trigonometrie
- •1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
- •1.5 Gleichungen und Ungleichungen
- •1.5.1 Lineare Gleichungen
- •1.5.2 Potenzgleichungen
- •1.5.3 Quadratische Gleichungen
- •1.5.4 Wurzelgleichungen
- •1.5.5 Ungleichungen
- •1.6 Beweise
- •1.6.1 Direkter Beweis
- •1.6.2 Indirekter Beweis
- •1.6.3 Konstruktiver Beweis
- •1.6.4 Vollständige Induktion
- •1.7 Aufgaben
- •2 Lineare Gleichungssysteme
- •2.1 Einführung
- •2.2 Gauß-Algorithmus
- •2.2.1 Äquivalenzumformungen
- •2.2.2 Vorwärtselimination
- •2.2.3 Rückwärtseinsetzen
- •2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
- •2.2.5 Rechenschema
- •2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
- •2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
- •2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
- •2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
- •2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
- •2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
- •2.4 Numerische Verfahren
- •2.4.1 Jakobi-Iteration
- •2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
- •2.5 Anwendungen
- •2.5.1 Produktion
- •2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
- •2.6 Aufgaben
- •3 Vektoren
- •3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
- •3.2.1 Addition und Subtraktion
- •3.2.2 Skalare Multiplikation
- •3.2.3 Skalarprodukt
- •3.2.4 Vektorprodukt
- •3.2.5 Spatprodukt
- •3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
- •3.3.1 Koordinatendarstellung
- •3.3.2 Addition und Subtraktion
- •3.3.3 Skalare Multiplikation
- •3.3.4 Skalarprodukt
- •3.3.5 Vektorprodukt
- •3.3.6 Spatprodukt
- •3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
- •3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
- •3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
- •3.4.5 Abstände
- •3.4.6 Winkel
- •3.5 Anwendungen
- •3.5.1 Kraft
- •3.5.2 Arbeit
- •3.5.3 Drehmoment
- •3.6 Aufgaben
- •4 Matrizen
- •4.2 Rechnen mit Matrizen
- •4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
- •4.2.2 Multiplikation von Matrizen
- •4.3 Determinanten
- •4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
- •4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
- •4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
- •4.4 Inverse Matrix
- •4.4.1 Invertierbare Matrizen
- •4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
- •4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
- •4.5 Lineare Abbildungen
- •4.5.1 Matrizen als Abbildungen
- •4.5.2 Kern, Bild und Rang
- •4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
- •4.7 Numerische Verfahren
- •4.7.1 Potenzmethode
- •4.8 Anwendungen
- •4.9 Aufgaben
- •5 Funktionen
- •5.1 Einführung
- •5.1.2 Wertetabelle
- •5.1.3 Schaubild
- •5.1.4 Explizite und implizite Darstellung
- •5.1.6 Funktionsschar
- •5.1.7 Verkettung von Funktionen
- •5.2 Polynome und rationale Funktionen
- •5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
- •5.2.2 Polynome
- •5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen
- •5.3 Eigenschaften
- •5.3.1 Symmetrie
- •5.3.2 Periode
- •5.3.3 Monotonie
- •5.3.4 Beschränktheit
- •5.4 Sinus, Kosinus und Tangens
- •5.4.2 Eigenschaften
- •5.5 Grenzwert und Stetigkeit
- •5.5.1 Zahlenfolgen
- •5.5.2 Grenzwert einer Funktion
- •5.5.3 Stetigkeit
- •5.5.4 Asymptotisches Verhalten
- •5.6.1 Exponentialfunktionen
- •5.6.2 Die e-Funktion
- •5.6.3 Hyperbelfunktionen
- •5.7 Umkehrfunktionen
- •5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion
- •5.7.2 Wurzelfunktionen
- •5.7.3 Arkusfunktionen
- •5.7.4 Logarithmusfunktionen
- •5.7.5 Area-Funktionen
- •5.8 Numerische Verfahren
- •5.8.1 Berechnung von Funktionswerten
- •5.8.2 Bisektionsverfahren
- •5.9 Anwendungen
- •5.9.1 Messwerte
- •5.9.2 Industrieroboter
- •5.10 Aufgaben
- •6.1 Steigung und Ableitungsfunktion
- •6.1.3 Ableitungsfunktion
- •6.1.5 Höhere Ableitungen
- •6.2 Ableitungstechnik
- •6.2.1 Ableitungsregeln
- •6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
- •6.2.5 Zusammenfassung
- •6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital
- •6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
- •6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
- •6.4.2 Monotonie
- •6.4.3 Krümmung
- •6.4.4 Lokale Extrema
- •6.4.5 Wendepunkte
- •6.4.6 Globale Extrema
- •6.5 Numerische Verfahren
- •6.5.2 Newton-Verfahren
- •6.5.3 Sekantenverfahren
- •6.6 Anwendungen
- •6.6.1 Fehlerrechnung
- •6.6.2 Extremwertaufgaben
- •6.7 Aufgaben
- •7 Integralrechnung
- •7.1 Flächenproblem
- •7.1.1 Integralsymbol
- •7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
- •7.1.3 Bestimmtes Integral
- •7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
- •7.2.1 Integralfunktion
- •7.2.2 Stammfunktion
- •7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
- •7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
- •7.3 Integrationstechnik
- •7.3.1 Integrationsregeln
- •7.3.2 Integration durch Substitution
- •7.3.3 Partielle Integration
- •7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
- •7.3.5 Uneigentliche Integrale
- •7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
- •7.4.1 Flächeninhalte
- •7.4.2 Bogenlänge
- •7.4.3 Rotationskörper
- •7.5 Numerische Verfahren
- •7.5.1 Trapezregel
- •7.5.2 Romberg-Verfahren
- •7.6 Anwendungen
- •7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
- •7.7 Aufgaben
- •8 Potenzreihen
- •8.1 Unendliche Reihen
- •8.2 Potenzreihen und Konvergenz
- •8.3 Taylor-Reihen
- •8.4 Eigenschaften
- •8.5 Numerische Verfahren
- •8.5.1 Berechnung von Funktionswerten
- •8.6 Anwendungen
- •8.6.1 Normalverteilung in der Statistik
- •8.7 Aufgaben
- •9 Kurven
- •9.1 Parameterdarstellung
- •9.2 Kegelschnitte
- •9.3 Tangente
- •9.4 Krümmung
- •9.5 Bogenlänge
- •9.6 Numerische Verfahren
- •9.6.1 Bézier-Kurve
- •9.7 Anwendungen
- •9.7.1 Mechanik
- •9.7.2 Straßenbau
- •9.8 Aufgaben
- •10 Funktionen mit mehreren Variablen
- •10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
- •10.2 Grenzwert und Stetigkeit
- •10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.2.2 Stetigkeit
- •10.3.3 Gradient und Richtungsableitung
- •10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
- •10.3.6 Extremwerte
- •10.4 Ausgleichsrechnung
- •10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- •10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
- •10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
- •10.5 Vektorwertige Funktionen
- •10.6 Numerische Verfahren
- •10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
- •10.6.2 Gradientenverfahren
- •10.7 Anwendungen
- •10.7.1 Fehlerrechnung
- •10.8 Aufgaben
- •11 Komplexe Zahlen und Funktionen
- •11.1.1 Komplexe Zahlen
- •11.1.2 Gaußsche Zahlenebene
- •11.1.3 Polarkoordinaten
- •11.1.4 Exponentialform
- •11.2 Rechenregeln
- •11.2.1 Gleichheit
- •11.2.2 Addition und Subtraktion
- •11.2.3 Multiplikation und Division
- •11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
- •11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
- •11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
- •11.3.1 Potenzen
- •11.3.2 Wurzeln
- •11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
- •11.4 Komplexe Funktionen
- •11.4.1 Ortskurven
- •11.4.2 Harmonische Schwingungen
- •11.4.3 Transformationen
- •11.5 Anwendungen
- •11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung
- •11.6 Aufgaben
- •12.1 Einführung
- •12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
- •12.2.1 Separation der Variablen
- •12.2.2 Lineare Substitution
- •12.3.3 Allgemeine Eigenschaften
- •12.4.1 Allgemeine Form
- •12.4.2 Freie Schwingung
- •12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
- •12.4.4 Frequenzgänge
- •12.5.1 Eliminationsverfahren
- •12.5.2 Zustandsvariablen
- •12.5.5 Stabilität
- •12.6 Numerische Verfahren
- •12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
- •12.7 Anwendungen
- •12.7.1 Temperaturverlauf
- •12.7.2 Radioaktiver Zerfall
- •12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
- •12.7.4 Feder-Masse-Schwinger
- •12.7.5 Pendel
- •12.7.6 Wechselstromkreise
- •12.8 Aufgaben
- •13 Fourier-Reihen
- •13.1 Fourier-Analyse
- •13.1.1 Periodische Funktionen
- •13.1.2 Trigonometrische Polynome
- •13.1.3 Fourier-Reihe
- •13.1.4 Satz von Fourier
- •13.1.5 Gibbssches Phänomen
- •13.2 Komplexe Darstellung
- •13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
- •13.2.3 Spektrum
- •13.2.4 Minimaleigenschaft
- •13.3 Eigenschaften
- •13.3.1 Symmetrie
- •13.3.2 Integrationsintervall
- •13.3.3 Mittelwert
- •13.3.4 Linearität
- •13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •13.3.6 Zeitverschiebung
- •13.4 Aufgaben
- •14 Verallgemeinerte Funktionen
- •14.1 Heaviside-Funktion
- •14.2 Dirac-Distribution
- •14.3 Verallgemeinerte Ableitung
- •14.4 Faltung
- •14.5 Aufgaben
- •15 Fourier-Transformation
- •15.1 Integraltransformation
- •15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
- •15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
- •15.2 Eigenschaften
- •15.2.1 Linearität
- •15.2.2 Zeitverschiebung
- •15.2.3 Amplitudenmodulation
- •15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •15.3 Inverse Fourier-Transformation
- •15.3.2 Vertauschungssatz
- •15.3.3 Linearität
- •15.4.3 Multiplikationssatz
- •15.4.5 Faltung
- •15.5 Periodische Funktionen
- •15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
- •15.5.3 Grenzwertbetrachtung
- •15.6 Anwendungen
- •15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
- •15.7 Aufgaben
- •16 Laplace-Transformation
- •16.1 Bildbereich
- •16.2 Eigenschaften
- •16.2.1 Linearität
- •16.2.2 Ähnlichkeit
- •16.2.3 Zeitverschiebung
- •16.2.4 Dämpfung
- •16.3.2 Integration
- •16.3.3 Faltung
- •16.3.4 Grenzwerte
- •16.4 Transformation periodischer Funktionen
- •16.5 Rücktransformation
- •16.7 Anwendungen
- •16.7.1 Regelungstechnik
- •16.8 Aufgaben
- •17 z-Transformation
- •17.1 Transformation diskreter Signale
- •17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
- •17.2 Eigenschaften
- •17.2.1 Linearität
- •17.2.2 Verschiebung
- •17.2.3 Dämpfung
- •17.4 Anwendungen
- •17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort
- •A Anhang
- •A.1 Ableitungsregeln
- •A.2 Ableitungen
- •A.3 Potenzreihen
- •A.4 Integralregeln
- •A.5 Integrale
- •A.6 Fourier-Reihen
- •A.7 Fourier-Transformationen
- •A.8 Laplace-Transformationen
- •A.9 Griechisches Alphabet
- •A.10 Bedeutende Mathematiker
- •Literaturverzeichnis
- •Sachwortverzeichnis
15.2 Eigenschaften |
579 |
15.2.3 Amplitudenmodulation
Nun gehen wir der Frage nach, wie wir die Funktion im Zeitbereich verändern müssen, damit sich im Frequenzbereich eine Verschiebung um f0 ergibt. Mit der Integralformel aus Definition 15.1 erhalten wir
S |
( |
f |
− |
f0 |
) = |
|
∞ s |
t |
e |
i 2 π |
( |
f |
− |
f0 |
) |
t dt |
= |
|
∞ ei 2 π f0 ts |
t |
) |
e |
i 2 π f t dt. |
|
|
|
|
S |
−∞ |
( |
) |
− |
|
|
|
S |
−∞ |
s˜ t |
( |
|
− |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ |
|
|
||||
( )
Somit entspricht der Verschiebung im Frequenzbereich um f0 eine Multiplikation im Zeitbereich mit dem Faktor ei 2 π f0 t.
Satz 15.6 (Frequenzverschiebung)
Die Verschiebung der Fourier-Transformierten S im Frequenzbereich um f0 entspricht der Multiplikation mit dem Faktor ei 2 π f0 t der Funktion s im Zeitbereich.
S(f)
×
×
×
Ö
S(f − f0)
s c
s c ei 2 π f0 t s(t)
Eine Frequenzverschiebung erzeugt aus einer reellen Zeitfunktion somit eine komplexe
Zeitfunktion. Wenn wir allerdings eine Verschiebung um f0 und eine Verschiebung um −f0 gleichzeitig betrachten, können wir wieder eine reelle Zeitfunktion erzeugen. Dazu addieren wir die beiden Korrespondenzen:
|
|
|
i 2 π f0 t |
c |
s S f f0 |
||
|
|
|
ei 2 π f0 t s t |
||||
|
|
e |
s(t) |
|
S |
(f − f0) |
|
|
|
|
− |
( ) c |
s |
( + ) |
|
|
i 2 π f0 t |
|
i 2 π f0 t |
||||
‰e |
|
+ e− |
|
Ž s(t) c |
s S(f − f0) + S(f + f0) |
||
Die Summe der beiden e-Funktionen lässt sich nach Satz 11.2 durch einen Kosinus ausdrücken. Unter Berücksichtung der Linearität der Fourier-Transformation ergibt sich
cos(2 π f0 t) s(t) c s 1‰S(f − f0) + S(f + f0)Ž.
2
Einen Ausdruck der Form s(t) cos(2 π f0 t) nennt man amplitudenmodulierten Kosinus.
Definition 15.3 (Amplitudenmodulation)
Die Multiplikation einer Signalfunktion s mit einer Kosinusschwingung
sAM(t) = s(t) cos(2 π f0 t)
bezeichnet man als amplitudenmodulierten Kosinus mit der Grundfrequenz f0.
580 |
15 Fourier-Transformation |
Bei der Amplitudenmodulation beschreibt s die zeitabhängige Amplitude der Kosinusschwingung mit Kreisfrequenz 2 π f0. Die Amplitudenmodulation ist ein grundlegendes Verfahren der Signalverarbeitung.
Satz 15.7 (Amplitudenmodulierter Kosinus)
Die Multiplikation der Funktion s im Zeitbereich mit cos 2 π f0 t entspricht der Mit-
telwertbildung aus zwei Frequenzverschiebungen um |
|
f |
0(der |
Fourier-Transformierten |
|||||||||||||||||||
± |
|
) |
|||||||||||||||||||||
S. |
|
|
|
c |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
s t |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
× |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s t |
|
cosÖ2 π f0 t |
) c |
s |
|
‰ |
S |
|
f |
|
f0 |
Ö |
S |
|
f |
|
f0 |
)Ž |
|
||||
( |
) |
( |
|
|
|
( |
|
− |
|
) + |
( |
|
+ |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Beispiel 15.9 (Amplitudenmodulation bei der Fourier-Transformation)
Wir verwenden die Dreieckfunktion aus Beispiel 15.4 als Amplitudenfunktion:
|
|
|
|
|
s(t) |
|
|
|
|
|
|
|
S(f) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−3 −2 −1 |
−1 |
|
1 |
2 |
3 |
t |
|
−3 −2 −1 |
|
1 |
2 |
3 |
f |
||
|
|
|
|
|
|
c |
s |
|
−1 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin π f |
|
|
|
||
|
|
s t |
|
|
|
|
|
S f |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
π f |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Die Fourier- |
Transformationen des durch s amplitudenmodulierten Kosinus ergeben sich aus der |
||||||||||||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
( |
) = ‹ |
|
|
• |
|
|
||
Mittelung der beiden um ±f0 verschobenen Transformierten: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
s˜(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(f) |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−3 −2 −1 |
|
1 |
2 |
3 |
t |
|
|
|
−3 −2 −1 |
1 |
|
2 |
3 |
f |
||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
c |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s˜ t |
) = |
s t |
cos |
2 π t |
) |
|
S˜ |
f |
) = |
21 |
‰ |
S |
( |
f |
1 |
S |
( |
f |
+ |
1 |
)Ž |
|
||
( |
( ) |
( |
|
|
|
|
( |
|
|
|
− ) + |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
sˆ(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(f) |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−3 −2 −1 |
|
1 |
2 |
3 |
t |
|
|
|
−3 −2 −1 |
1 |
|
2 |
3 |
f |
||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
c |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sˆ t |
) = |
s t |
cos |
6 π t |
) |
|
Sˆ |
f |
) = |
21 |
‰ |
S |
( |
f |
3 |
S |
( |
f |
+ |
3 |
)Ž |
Ì |
||
( |
( ) |
( |
|
|
|
|
( |
|
|
|
− ) + |
|
|
|
|
|||||||||
15.2 Eigenschaften |
581 |
15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
Ersetzt man im Zeitbereich t durch at, so spricht man von Ähnlichkeit. Für den Parameter a sind alle reellen Werte außer null zugelassen. Wir klären nun, wie sich eine Ähnlichkeit
auf den Frequenzbereich auswirkt. Die Transformation von s˜ t |
|
|
s a t |
|
kann man mit |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
der Integralformel aus Definition 15.1 durchführen. Mithilfe |
der Substitution u |
|
a t und |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( ) = ( |
) |
|
|
|
= |
|
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du |
= |
a dt ergibt sich |
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∞ s |
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±∞ s |
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|||||||||
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s˜ t |
s a t |
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S˜ |
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f |
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a t |
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e |
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i 2 |
π f t |
dt |
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u e |
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i 2 π f u du |
. |
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) |
c s |
( |
) = |
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( |
) |
− |
|
= |
|
− |
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a |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
( |
) = ( |
|
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−∞ |
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∞ |
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( ) |
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a |
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||||||||||||||||||||
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S |
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S |
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||
An den Grenzen |
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verändert die Substitution nichts, sofern a positiv ist. Falls a negativ |
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ist, ändern die |
Grenzen das Vorzeichen. Beide Fälle können wir zusammenfassen durch |
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±∞ |
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S˜ |
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1 |
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∞ s |
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i 2 π fa u du |
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1 |
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f |
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s˜ t |
s a t |
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f |
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u |
e |
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|
S |
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. |
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c s |
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− |
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( |
) = ( |
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) |
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( |
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) = |
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S |
a |
S |
−∞ |
( |
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) |
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= |
S |
a |
S |
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‹ a |
• |
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S |
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|||||
Satz 15.8 (Ähnlichkeit)
Ersetzt man bei der Funktion s im Zeitbereich t durch a t, dann wird bei der Fourier-Transfor-
mierten S im Frequenzbereich f durch f ersetzt a
und die Fourier-Transformierte durch SaS dividiert. Dabei darf die Konstante a nicht null sein.
s(t)
×
×
×
Ö
s(a t)
c |
s |
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S(f) |
||||
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|
× |
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× f |
||
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1 |
× |
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SÖ |
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c |
s |
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||||
SaS |
‹ a • |
||||||
Beispiel 15.10 (Ähnlichkeit bei der Fourier-Transformation)
Die Wirkung der Ähnlichkeit zeigt sich an der Rechteckfunktion aus Beispiel 15.1 sehr deutlich:
2 |
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s(t) |
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2 |
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S(t) |
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|||
1 |
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1 |
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−3 −2 −1 |
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1 |
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2 |
3 |
t |
c |
s |
−3 −2 −1 |
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1 |
2 |
3 |
f |
||
|
s t |
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S f |
sin 2 π f |
) |
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||||
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π f |
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|||||
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( ) |
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( |
) = |
( |
|
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||||
2 |
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s˜(t) |
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2 |
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|
˜ |
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|||
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S(t) |
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||
1 |
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1 |
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−3 −2 −1 |
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1 |
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|
2 |
3 |
t |
c s |
−3 −2 −1 |
|
1 |
2 |
3 |
f |
|||
s˜ t |
s |
|
2 |
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˜ |
sin 3 π f |
) |
|
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||||
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3 t |
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S f |
|
π f |
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( ) = ‰ Ž |
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( ) = |
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( |
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