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3 Vektoren |
3.5 Anwendungen
Wichtige Begri e der Mechanik, wie etwa Kraft, Drehmoment, Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind vektorielle Größen. Andere physikalische Grundbegri e, wie etwa die skalare Größe Arbeit, sind durch das Zusammenspiel von vektoriellen Größen definiert. Dadurch haben Vektoren in der Technischen Mechanik eine grundlegende Bedeutung.
3.5.1 Kraft
Der physikalische Begri Kraft ist in der Technischen Mechanik von zentraler Bedeutung. Eine Kraft ist eine vektorielle Größe mit Betrag und Richtung. Bei der Überlagerung von Kräften gilt das Prinzip der resultierenden Kraft, dessen grundlegende Bedeutung von Sir Isaac Newton erkannt wurde. Wirken auf einen Punkt mehrere Kräfte F 1, F 2, . . ., F n, dann haben alle diese Kräfte zusammen die selbe Wirkung wie die sogenannte resultierende Kraft
F res = F 1 + F 2 + . . . + F n.
Beispiel 3.28 (Resultierende Kraft)
Eine Lampe hängt in der Mitte eines über die Straße gespannten Seils. Infolge des Durchhangs bildet das Seil auf beiden Seiten denselben Winkel α mit der Horizontalen. In den beiden Seilen wirken die Kräfte F 1 und F 2. Durch die Masse der Lampe entsteht eine Gewichtskraft F G, die senkrecht nach unten gerichtet ist. Es gilt das Kräftgleichgewicht
α
F |
1 |
|
F2
F
G
α
F G + F 1 + F 2 = 0.
Dabei wurde die Masse der Seile vernachlässigt. |
Ì |
3.5.2 Arbeit
Arbeit ist das Produkt aus Kraft und Weg. Dieses Prinzip kennen wir aus der Physik. Trotzdem betrachten wir diesen Sachverhalt noch etwas genauer. Eine Kraft ist eine vektorielle Größe. Die gerade Strecke vom Punkt A zum Punkt B lässt sich durch einen Vektor s beschreiben. Wird ein Körper geradlinig von A nach B bewegt, dann bezeichnet man die Energie, die durch die Kraft entlang der Strecke auf den Körper übertragen wird, als Arbeit W . Wirkt die konstante Kraft F direkt in Richtung der Strecke, dann ist die Arbeit als Produkt von SF S und SsS definiert. Im Allgemeinen Fall verrichtet nur die Kraft, die in Richtung des Wegs wirkt, eine Arbeit. Deshalb ist die skalare Größe Arbeit W das Skalarprodukt aus konstanter Kraft F und Strecke s
W = F s = SF S SsS cos α.
3.5 Anwendungen |
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Beispiel 3.29 (Arbeit, Kraft und Weg)
Wird ein Körper durch eine konstante Kraft F 1 senkrecht hochgehoben, so wirkt die Kraft direkt in Richtung des Weges h. Die Arbeit berechnet sich zu
W = F 1 h = SF 1S ShS.
Vernachlässigt man Reibung, dann wird dieselbe Arbeit verrichtet, wenn der Körper durch eine konstante Kraft F 2 über eine schiefe Ebene befördert wird. Der zurückgelegte Weg SsS ist länger als die Höhe ShS und die benötigte Kraft F 2 ist kleiner als die Kraft F 1.
s
F 1
G F
F2
h
Ì
3.5.3 Drehmoment
Drehmomente werden in der Physik zur Beschreibung rotierender Bewegungen verwendet. Die Rolle, die die Kraft bei geradlinigen Bewegungen hat, übernimmt das Drehmoment bei Rotationen. Eine Kraft, die direkt auf den Schwerpunkt eines Körpers wirkt, erzeugt eine geradlinige Bewegung. Liegt der Angri spunkt einer Kraft nicht direkt im Schwerpunkt, wird eine Drehung hervorgerufen. Das dabei entstehende Drehmoment M ist von der Kraft F und der Strecke s zwischen Angri spunkt und Schwerpunkt abhängig. Die Rotationsachse der Drehbewegung verläuft durch den Schwerpunkt und ist sowohl senkrecht zur Kraft F als auch zur Strecke s. Das Drehmoment M ist das Kreuzprodukt aus Strecke s und Kraft F .
Beispiel 3.30 (Drehmoment)
Beim Hubkolbenmotor bewirkt die Kraft des Kolbens über das Pleuel ein Drehmoment an der Kurbelwelle. Über das Getriebe und den Achsantrieb wird das Motordrehmoment auf die Antriebsräder übertragen. Durch das Getriebe kann das Motordrehmomet verstärkt oder reduziert auf die Räder wirken. Das Drehmoment ist das Kreuzprodukt aus Hebelarm s und Kraft F
M = s × F Ô SMS = SsS SF S sin α.
Das Drehmoment steht senkrecht auf Hebelarm und Kraft, es wirkt also in Richtung der Kurbelwelle. Bei konstanter Länge der Hebelarms SsS und konstantem Betrag der Kraft SF S erhalten wir das maximale Drehmoment, wenn Kraft und Hebelarm senkrecht zueinander stehen. Wirkt die Kraft parallel zum Hebelarm, dann ist das Drehmoment null.
s |
α |
|
F
Ì