5.6 Exponentialund Hyperbelfunktionen

Die Wachstumsgeschwindigkeit von Mikroorganismen, wie beispielsweise Bakterien, Pilze oder Algen, die Reaktionsgeschwindigkeit chemischer Prozesse und die Verzinsung von Kapitalanlagen sind nur einige Beispiele, die zeigen, dass unser Alltagsleben von Wachstumsprozessen beherrscht wird. Mathematisch werden solche Wachstumsprozesse durch sogenannte Exponentialfunktionen beschrieben.

5.6.1 Exponentialfunktionen

Unter einer Exponentialfunktion versteht man eine Funktion, bei der die Variable x im Exponenten steht. Als Basis lassen wir beliebige positive reelle Zahlen a ≠ 1 zu. Für a = 1 erhalten wir die konstante Funktion f(x) = 1 als Sonderfall. Diese triviale Funktion wollen wir im Folgenden ausschließen.

Definition 5.46 (Exponentialfunktion)

Eine Funktion f, die sich in der Form

f(x) = ax, a R, a > 0, a ≠ 1,

darstellen lässt, bezeichnet man als Exponentialfunktion mit Basis a.

Die Potenzgesetze, die wir in Abschnitt 1.3.2 ursprünglich nur für natürliche Hochzahlen betrachtet haben, behalten aufgrund der Stetigkeit auch für reelle Hochzahlen ihre Gültigkeit.

Rechenregeln für Exponentialfunktionen

Bei der Multiplikation oder Division von Exponentialfunktionen mit derselben Basis a kann man die Exponenten zusammenfassen:

Bei Potenzen von Potenzen multiplizieren sich die Hochzahlen:

L (ax1 )x2 = ax1 x2

Diese Rechenregeln gelten für alle Zahlen x1 und x2 aus R.

5.6.2 Die e-Funktion

Wir haben bereits einige reelle Zahlen kennengelernt, die man als mathematische Natur-

konstanten bezeichnen könnte. Beispielsweise benötigt man die Kreiszahl π, um Umfang

√

und Fläche beim Einheitskreis zu beschreiben. Die Zahl 2 beschreibt die Länge der Diagonale im Einheitsquadrat. Nun werden wir eine Zahl kennenlernen, die das natürliche Wachstum beschreibt.

Definition 5.47 (Eulersche Zahl e)

Den Grenzwert der Zahlenfolge

lim ‹1 + 1 •k = e ≈ 2,71828182845904523536

k→∞ k

bezeichnet man als Eulersche Zahl e.

Bei der Definition der Eulerschen Zahl e sind wir stillschweigend davon ausgegangen, dass die Folge tatsächlich einen Grenzwert besitzt. Man kann zeigen, dass die Folge streng monoton wachsend und nach oben beschränkt ist. Somit ist sie nach Satz 5.14 konvergent. Weitere Details dazu findet man in der Literatur, beispielsweise bei [Heuser:Analysis].

Die e-Funktion ist eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik. Sie beschreibt das natürliche Wachstum und ist deshalb in extrem vielen Anwendungsbeispielen anzutre en.

Beispiel 5.64 (Zinseszins)

Ein Kapital von 100.00 e wird mit 6 % Jahreszins verzinst. Nach einem Jahr ergeben sich

100.00 e (1 + 0.06) = 106.00 e.

Wir können den Betrag nun auch erst ein halbes Jahr verzinsen und dann die Zwischensumme inklusive bis dahin erzielter Zinsen nochmals ein halbes Jahr verzinsen. Bei der Rechnung gehen wir davon aus, dass wir für ein halbes Jahr auch den halben Zins erhalten:

100.00 e (1 + 0.03) = 103.00 e, 103.00 e (1 + 0.03) = 106.09 e.

Ähnliche Überlegungen ergeben für monatliche Verzinsung

100.00 e ‹1 + 0.06 •12 = 106.17 e.

12

Allgemein gilt bei Verzinsung über k Zeitintervalle die Formel

100.00 e ‹1 + 0.06 •k . k

Zur Berechnung des maximal möglichen Betrags benötigen wir den Grenzwert

lim ‹1 + 0.06 •k .

k→∞ k

Mittels der Substitution 0.06 = 1 , bzw k = 0.06 n erhalten wir

kn

Definition 5.48 (Natürliche Exponentialfunktion, e-Funktion)

Die Exponentialfunktion zur Basis e

f(x) = ex

bezeichnet man als natürliche Exponentialfunktion oder kurz als e-Funktion.

Später werden wir noch sehen, dass man eine Exponentialfunktion mit beliebiger Basis a mithilfe der e-Funktion darstellen kann. Die e-Funktion hat dieselben Eigenschaften wie alle anderen Exponentialfunktionen mit einer Basis a > 1. Da die e-Funktion für uns im Folgenden von extremer Bedeutung ist, fassen wir alle Eigenschaften und Rechengesetze nochmals zusammen.