11.4 Komplexe Funktionen

11.4.1 Ortskurven

Insbesondere in der Elektrotechnik betrachtet man komplexe Größen, die von reellen Parametern abhängen. Eine Kurve, die durch komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene beschrieben wird, nennt man Ortskurve. Durchläuft der Parameter ein Intervall der reellen Zahlen, so ergibt sich für jeden Parameter eine komplexe Zahl.

Definition 11.9 (Komplexwertige Funktion einer reellen Variablen, Ortskurve)

Ortskurven lassen sich in kartesischer Form oder in Exponentialform darstellen:

z(t) = x(t) + i y(t) = r(t) ei ϕ(t), t I.

Die kartesische Form entspricht der Parameterdarstellung ebener Kurven, siehe Definition 9.1. Die Darstellung in Exponentialform entspricht der Darstellung ebener Kurven in Polarkoordinaten, siehe Definition 9.2.

11.4.2 Harmonische Schwingungen

Die mathematische Beschreibung von Schwingungsvorgängen ist Bestandteil vieler Problemstellungen in Naturwissenschaft und Technik. Unter einer harmonischen Schwingung versteht man eine Oszillation, die sich in Form einer Sinusoder Kosinusfunktion darstellen lässt, siehe Definition 5.28. Technische Vorgänge lassen sich nur bei idealisierten Annahmen durch reine harmonische Schwingungen beschreiben. Trotzdem bilden harmonische Schwingungen die Grundlage jeder Schwingungsanalyse. Dabei betrachtet man harmonische Schwingungen meistens nicht in Form von Sinusoder Kosinusfunktionen, sondern in Form komplexer Funktionen mit einer reellen Veränderlichen, siehe Kapitel 13 und Kapitel 12.

Satz 11.17 (Harmonische Schwingung)

Jede harmonische Schwingung mit Kreisfrequenz ω lässt sich sowohl durch eine Amplitude A > 0 und einen Phasenwinkel ϕ mit dem Kosinus als Grundfunktion als auch durch Überlagerung phasenwinkelfreier Sinusund Kosinusfunktionen darstellen:

A cos (ω t + ϕ) = C1 cos (ω t) + C2 sin (ω t).

Zur Umrechnung zwischen den beiden Darstellungen gelten die Formeln:

»

L A = C12 + C22

L ϕ = arg(C1 − i C2)

Sinus und Kosinus sind am Einheitskreis definiert, siehe Definition 5.25. Wir übertragen diese Definition nun auf die Gaußsche Zahlenebene. Zu einer harmonischen Schwingung x betrachten wir eine komplexwertige Funktion z, die von einem reellen Parameter abhängt:

x(t) = A cos (ω t + ϕ) Ð→ z(t) = A cos (ω t + ϕ) + i A sin (ω t + ϕ).

Die Ortskurve der Funktion z beschreibt einen Ursprungskreis mit Radius A in der komplexen Ebene. Man nennt z eine komplexe Ersatzgröße für x. Diese Vorgehensweise erweckt den Eindruck, dass man aus einer einfachen reellen Funktion x eine komplizierte komplexe Funktion z erzeugt hat. Das Gegenteil ist der Fall. Nach dem Satz von Euler, Satz 11.1, gilt:

z(t) = A cos (ω t + ϕ) + i A sin (ω t + ϕ) = A ei (ω t+ϕ).

Wir werden sehen, dass sich in der Darstellung mit der e-Funktion viele Berechnungen einfacher durchführen lassen als in der ursprünglichen reellen Form mit dem Kosinus.

Wenn der Parameter t die reellen Zahlen durchläuft, dann durchläuft die Ortskurve der Schwingung im Komplexen z den Kreis unendlich oft. Der Zeiger z0 ist aber eine feste komplexe Zahl

z0 = z(0) = A ei (ω 0+ϕ) = A ei ϕ.

Er gibt den Phasenwinkel zum Parameterwert t = 0 an. Deshalb bezeichnet man ϕ auch als Nullphasenwinkel. Durch komplexe Zeiger lässt sich die Überlagerung harmonischer Schwingungen elegant berechnen. Nach Satz 11.17 lässt sich jede harmonische Schwingung mit Kosinus als Grundfunktion darstellen. Somit betrachten wir zwei harmonische Schwingungen x1 und x2 in der Form

x1(t) = A1 cos (ω t + ϕ1), x2(t) = A2 cos (ω t + ϕ1).

Dabei setzen wir voraus, dass beide Schwingungen dieselbe Kreisfrequenz ω besitzen. Anstatt der Überlagerung der reellen Funktionen x1 und x2 betrachten wir die Addition der Schwingungen im Komplexen z1 und z2:

x1(t) + x2(t) Ð→ z1(t) + z2(t) = A1 ei (ω t+ϕ1) + A2 ei (ω t+ϕ2) = A ei (ω t+ϕ).