7.3.3 Partielle Integration

Die Produktregel der Di erenziation

(f(x) g(x))′ = f′(x) g(x) + f(x) g′(x),

siehe Satz 6.7, erzeugt unmittelbar eine Regel zur Integration von Produkten. Dazu integrieren wir die Gleichung auf beiden Seiten und verwenden die Summenregel:

erhalten wir die sogenannte Regel zur partiellen Integration. An dieser Stelle sehen wir nochmals, dass die Integration von Produkten etwas aufwendiger ist als die Integration von Summen. Bei Summen können wir einfach Integration und Summation vertauschen, bei Produkten geht das nicht.

Satz 7.14 (Partielle Integration)

Wenn man die Funktion im Integral als ein Produkt einer Funktion f und der Ableitung g′ einer Funktion g in der Form

S f(x) g′(x) dx

darstellt, dann kann man die Funktion teilweise integrieren:

S f(x) g′(x) dx = f(x) g(x) − S f′(x) g(x) dx.

Auf den ersten Blick erzeugt diese Regel Skepsis, denn auf der rechten Seite steht ja wieder ein Integral. Es stellt sich die Frage, was wir mit dieser Regel gewinnen. Bei geschickter Anwendung der Produktregel ist die Stammfunktion auf der rechten Seite einfacher zu berechnen als die ursprüngliche Stammfunktion.

Partielle Integration

Partielle Integration ist sinnvoll, falls

Lman eine Stammfunktion g zu g′ angeben kann und

Ldas neue Integral

S f′(x) g(x) dx

die Berechnung des ursprünglichen Integrals vereinfacht.

Es gibt Situationen, bei denen das gesuchte Integral nach Anwendung von partieller Integration erneut auftaucht. Dann kann man beide Integralausdrücke zusammenfassen und die Gleichung nach dem gesuchten Ausdruck auflösen.

Beispiel 7.22 (Partielle Integration)

Partielle Integration führt auch bei der Suche nach einer Stammfunktion von sin2 x zum Erfolg, denn

Auf den ersten Blick entsteht der Eindruck, dass wir noch nicht weiter gekommen sind, denn das neue Integral scheint uns vor dasselbe Problem wie das Ausgangsintegral zu stellen. Wir gehen jetzt jedoch trickreich vor und ersetzen cos2 x = 1 − sin2 x. Dadurch ergibt sich

Auf der rechten Seite kommt nun dasselbe Integral I wie auf der linken Seite vor. Wir lösen die Gleichung deshalb nach dem Integral I auf:

2 S sin2 x dx = −sin x cos x + x + C.

Dabei dürfen wir nicht vergessen, dass wir noch eine Integrationskonstante C addieren müssen. Nach einer Division mit 2 erhalten wir das Ergebnis

der Einfachheit halber gleich wieder C nennt. Da C eine beliebige reelle Zahl ist, spielt der Vorfaktor vor dem C keine Rolle. Ì

7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen

Integrale mit gebrochenrationalen Funktionen spielen bei technischen Anwendungen eine wichtige Rolle. Sie werden beispielsweise verwendet, um gewöhnliche Di erenzialgleichungen mithilfe der Laplace-Transformation zu lösen. Erfreulicherweise gibt es ein systematisches Verfahren zur Integration gebrochenrationaler Funktionen. Die Grundlage für die systematische Lösung bildet die Partialbruchzerlegung, die wir bereits in Abschnitt 5.2.3 kennengelernt haben.

Stammfunktionen gebrochenrationaler Funktionen

Stammfunktionen einer gebrochenrationalen Funktion der Form

Leine unecht gebrochenrationale Funktion durch Polynomdivision in ein Polynom und eine echt gebrochenrationale Funktion zerlegt und

Leine echt gebrochenrationale Funktion mithilfe einer Partialbruchzerlegung in Summen unterteilt.

Beispiel 7.23 (Stammfunktion einer rationalen Funktion mit einfachen Nennernullstellen)

x − 1

Wir suchen Stammfunktionen für das Integral S x2 + 5x + 6 dx. Mithilfe der Partialbruchzerlegung

die wir bereits in Beispiel 5.35 bestimmt haben, ergibt sich

Beispiel 7.24 (Stammfunktion einer rationalen Funktion mit doppelter Nennernullstelle)

x − 1

Stammfunktionen für die gebrochenrationale Funktion f(x) = x2 + 4x + 4 dx bestimmen wir durch die Partialbruchzerlegung

siehe Beispiel 5.36. Integration der einzelnen Summanden liefert

Sofern sich das Nennerpolynom einer gebrochenrationalen Funktion vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt, treten bei der Partialbruchzerlegung nur zwei Integraltypen auf.

Stammfunktionen bei der Partialbruchzerlegung (Teil I)

Partialbrüche mit einfachen oder mehrfachen reellen Nennernullstellen x0 lassen sich mit Stammfunktionen folgender Form integrieren:

Bei der Partialbruchzerlegung kann es auch vorkommen, dass sich das Nennerpolynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt, siehe Abschnitt 5.2.3. Es gibt zwei Methoden, diesem Problem Herr zu werden. Die elegante Methode verwendet komplexe Zahlen, wodurch sich das Nennerpolynom immer vollständig in komplexe Linearfaktoren zerlegen lässt. Allerdings müssten wir dazu den Begri des Integrals auf komplexe Zahlen erweitern, was wir an dieser Stelle aber nicht tun. Bei der zweiten Methode arbeiten wir, wie gewohnt, mit reellen Zahlen und lösen das Problem durch eine Reihe trickreicher algebraischer Umformungen. Auf eine detaillierte Ausarbeitung aller Fälle verzichten wir hier und betrachten dafür Beispiel 7.25, das die wesentlichen Ideen illustriert.

Beispiel 7.25 (Stammfunktion einer rationalen Funktion)

Der erste Ausdruck I1 hat die Bauart „Ableitung durch Funktion“. Wir können die Integration somit nach Satz 7.13 durchführen und erhalten