9 Kurven

Bei linearem Anwachsen gelingt dies durch z(t) = 2hπ t. Das Parameterintervall bestimmt die Anzahl der Umdrehungen. Insgesamt erhalten wir für n volle Umdrehungen

”2hπ t •

Das Schaubild einer Funktion f für x-Werte im Intervall I kann man als Spezialfall einer ebenen Kurve interpretieren. Dazu interpretiert man die x-Werte als Parameterwerte und die Funktionswerte als y-Werte der Kurve. Alle Formeln für parametrisierte Kurven lassen sich dadurch auf Schaubilder von Funktionen übertragen.

Schaubild einer Funktion als ebene Kurve

Das Schaubild einer Funktion f für x-Werte in einem Intervall I lässt sich als ebene parametrisierte Kurve c(t) darstellen:

9.2 Kegelschnitte

Die einfachsten echt gekrümmten ebenen Kurven sind die sogenannten Kegelschnitte. Sie umfassen Kreise, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln. Anschaulich definiert man einen Kegelschnitt als Schnittkurve zwischen einer Ebene und einem Kegel. Im Zusammenhang mit Kegelschnitten verstehen wir hier unter einem Kegel eine Fläche, die man umgangssprachlich als unendlich ausgedehnten Doppelkegel bezeichnen würde. Der Typ der Kurve ist abhängig vom Schnittwinkel zwischen der Ebene und den Mantellinien.

Definition 9.3 (Kegelschnitt)

Eine Schnittkurve zwischen einer Ebene und einem Kegel bezeichnet man als Kegelschnitt. Insbesondere sind Kreise, Ellipsen,

Hyperbeln und Parabeln Kegelschnitte. In Spezialfällen bestehen die Schnittkurven aus Geraden oder entarten zu einem Punkt. Der Typ des Kegelschnitts ist vom Winkel zwischen Ebene und Mantellinien abhängig.

Kegelschnitte lassen sich aber auch über geometrische Eigenschaften definieren. Beispielsweise besagt die geometrische Definition des Kreises, dass ein Kreis aus allen Punkten besteht, die denselben Abstand von einem Mittelpunkt haben. Schließlich kann man Kegelschnitte auch noch durch quadratische Gleichungen definieren. Der Einheitskreis besteht beispielsweise aus allen Punkten, die die Gleichung x2 + y2 = 1 erfüllen. Wir werden bei der Darstellung der Kegelschnitte alle diese Aspekte aufgreifen.

Die Gleichung in Definition 9.4 kann man direkt aus der Abstandsformel aus Satz 3.16 herleiten. Der Punkt P (x S y) hat vom Mittelpunkt M(x0 S y0) den Abstand

»

r = (x − x0)2 + (y − y0)2.

Die Gültigkeit der Parameterdarstellung in Definition 9.4 kann man durch Einsetzen in die Gleichung nachweisen:

(x0 + r cos t − x0)2 + (y0 + r sin t − y0)2 = r2(cos2 t + sin2 t) = r2.

Wählt man für den Parameter t nicht ein komplettes Intervall der Länge 2 π, so kann man auf elegante Weise Teile des Vollkreises darstellen. Intervalle mit einer Länge größer als 2 π führen dazu, dass Teile des Kreises mehrfach durchlaufen werden. Auch der Durchlaufsinn der Kurve kann leicht verändert werden, indem man beispielsweise t durch −t ersetzt.

Die Herleitung der Gleichung aus Definition 9.5 erfolgt durch Aufsummieren der Abstände, die ein Punkt von den beiden Brennpunkten hat. Den konstanten Wert 2a erkennt man im Punkt P (0 S b). Die Gültigkeit der Parameterdarstellung erfolgt wie beim Kreis durch Einsetzen in die Gleichung. Wir verzichten jedoch auf die einzelnen algebraischen Umformungen. Bei einer Ellipse bezeichnet man den Abstand der beiden Brennpunkte zum Mittelpunkt als Exzentrizität e. Die Exzentrizität ist ein Maß dafür, wie stark eine Ellipse von einem Kreis abweicht. Eine Ellipse mit Exzentrizität e = 0 ist ein Kreis. Zwischen den Halbachsen a, b und der Exzentrizität e besteht nach dem Satz von Pythagoras der Zusammenhang

√

e = a2 − b2.

Landschaftsgärtner erzeugen Ellipsen, indem sie an den Positionen der Brennpunkte zwei Pflöcke einschlagen und eine Schnur der Länge 2 a daran befestigen. Bewegt man nun eine Markierung entlang der stets gespannten Schnur, so erhält man eine Ellipse.

beschreibt eine Ellipse mit dem Mittelpunkt M(8 S 6) und den Halbachsen a = 6 und b = 4. Wir möchten nun entscheiden, ob der Punkt P (12 S 3) innerhalb, außerhalb oder genau auf der Ellipse liegt. Dazu betrachten wir die Mittelpunktsgleichung

(x − 8)2 + (y − 6)2 = 1 62 42

und setzen die Koordinaten des Punktes P ein:

Definition 9.6 (Hyperbel)

Eine Parameterdarstellung lautet

Die unterschiedlichen Vorzeichen in den Formeln gehören zu den unterschiedlichen Hyperbelästen. Ein Hyperbelast kann nach links, rechts, oben oder unten geö net sein. Die Herleitung der Gleichung aus Definition 9.6 erfolgt aus der Di erenz der Abstände, die ein Punkt von den beiden Brennpunkten hat. Auch hier verzichten wir auf die Details. Die Gültigkeit der Parameterdarstellung erfolgt durch Einsetzen in die Gleichung und mithilfe von Satz 5.22:

Charakteristisch für Hyperbeln sind ihre Asymptoten. Die beiden Asymptoten schneiden

sich im Mittelpunkt M(x0 S y0) und haben die Steigung ± b . a

beschreibt eine Hyperbel. Die x-Werte werden nicht kleiner als 5. Es wird also nur der rechte Ast definiert. Die Asymptoten haben die Steigungen ±2 und schneiden sich im Punkt M(3 S − 1). Die Hyperbel besitzt die Gleichung

Der Parameter p wird manchmal auch als Halbparameter bezeichnet, da in der Parabelgleichung der Ausdruck 2p steht. Die unterschiedlichen Vorzeichen in den Formeln gehören zu den unterschiedlichen Parabelästen. Ein Parabelast kann nach links, rechts, oben oder unten geö net sein. Für die Herleitung der Gleichung aus Definition 9.7 betrachten wir den Fall einer nach rechts geö neten Parabel. Der Punkt P (x S y) hat den Abstand d1 = x − x0 + p2 von der Leitlinie `. Der Abstand zwischen dem Punkt P (x S y) und dem Brennpunkt beträgt

¾

Da die beiden Abstände d1 und d2 gleich sind, folgt

‰x − x0 + p2 Ž2 = ‰x − x0 − p2 Ž2 + (y − y0)2 Ô 2 p (x − x0) = (y − y0)2 .

Die drei anderen Fälle ergeben sich durch ähnliche Betrachtungen. Die Eigenschaften von Parabeln werden in der Technik für Parabolspiegel ausgenutzt. Bei einem Parabolspiegel werden parallel einfallende Strahlen im Brennpunkt gebündelt. Umgekehrt erzeugt eine punktförmige Lichtquelle durch einen Parabolspiegel paralleles Licht in eine Richtung.

Kreise, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln werden alle durch quadratische Gleichungen in x und y beschrieben. Man kann zeigen, dass auch umgekehrt jede quadratische Gleichung in x und y einen Kegelschnitt beschreibt. In entarteten Fällen können, zusätzlich zu Kreisen, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln, auch Geraden oder Punkte entstehen.

Satz 9.1 (Kegelschnittgleichung)

Jeder Kegelschnitt kann durch eine quadratische Gleichung der Form a x2 + 2 b x y + c y2 + 2 d x + 2 e y + f = 0

beschrieben werden. Umgekehrt beschreibt jede quadratische Gleichung einen Kegelschnitt. Für b = 0 verlaufen die Achsen parallel zu den Koordinatenachsen und man kann den Typ des Kegelschnitts aus den Vorzeichen der restlichen Koe zienten bestimmen:

Die Kegelschnittgleichung enthält an mehreren Stellen den Faktor 2. Durch diese Schreibweise werden weitere Formeln für Kegelschnitte einfacher. Für b ≠ 0 ist die Typbestimmung von Kegelschnitten etwas aufwendiger. Das liegt daran, dass die Hauptachsen für b ≠ 0 nicht parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Man kann zeigen, dass die Achsen um einen Winkel α gegenüber den Koordinatenachsen gedreht sind, mit

tan (2 α) = 2b . a − c