6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen

6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen

Durch Untersuchung der Ableitungsfunktionen einer Funktion können wir Rückschlüsse auf den Verlauf einer Funktion ziehen. Wir werden sehen, dass die erste Ableitung einer Funktion es ermöglicht, das Steigungsverhalten zu analysieren und Hochund Tiefpunkte zu lokalisieren. Mit der zweiten Ableitung werden wir das Krümmungsverhalten einer Funktion untersuchen.

6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel

Die Ableitung beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion. Bei vielen technischen Anwendungen ist es üblich, die Steigung in Form von Winkeln auszudrücken. Der Neigungswinkel einer Funktion wird bezüglich der positiven x-Achse gemessen. Korrekt ausgedrückt handelt es sich nicht um den Neigungswinkel einer Funktion, sondern um den Neigungswinkel des Graphen einer Funktion. Dabei betrachtet man zur Festlegung des Winkels an der Stelle x0 die Tangente an dieser Stelle. Die Gleichung

tan α = f′(x0) = f′(x0).

1

beschreibt die Neigung im rechtwinkligen Steigungsdreieck.

Den Neigungswinkel selbst berechnet man mit dem Arkustangens

α = arctan f′(x0).

Der Neigungswinkel α besitzt somit Werte zwischen −π und π . Teilweise wird die Stei-

2 2

gung auch mittels Prozentangaben beschrieben. Prozentangaben entsprechen direkt dem Wert der Ableitung. Beispielsweise entspricht eine Steigung von 10 % dem Ableitungswert 0.1, ebenso entspricht eine Steigung von 100 % dem Ableitungswert 1. Somit sind Steigungen über 100 % gültige Angaben. 200 % Steigung entsprechen einer Steigung von

2, also einem Winkel von arctan 2 ≈ 63○. Für Neigungswinkel, die gegen π streben, geht

2

die Ableitung und somit auch die prozentuale Steigung gegen ∞.

Orthogonale und berührende Graphen

Die Graphen der Funktionen f und g, die für x0 denselben Funktionswert haben,

Lstehen genau dann senkrecht zueinander, wenn das Produkt der beiden Ableitungen an der Stelle x0 den Wert −1 ergibt:

f(x0) = g(x0) und f′(x0) g′(x0) = −1.

L berühren sich genau dann, wenn die Ableitungen an der Stelle x0 übereinstimmen: f(x0) = g(x0) und f′(x0) = g′(x0).

6.4.2 Monotonie

Wir haben zwei unterschiedliche Begri e kennengelernt, die das Wachstumsverhalten einer Funktion beschreiben. Zum einen die Monotonie aus Abschnitt 5.3.3 und zum anderen die Ableitung. Wir klären nun den Zusammenhang zwischen diesen beiden Begri en.

Streng monoton wachsende Funktionen sind somit durch positive Ableitungen und streng monoton fallende Funktionen durch negative Ableitungen charakterisiert.

Erste Ableitung und Monotonie

Falls die erste Ableitung einer Funktion f für alle x-Werte aus einem Intervall I

L positiv ist, dann ist die Funktion auf ganz I streng monoton wachsend:

f′(x) > 0 für alle x I Ô f(x) streng monoton wachsend.

L negativ ist, dann ist die Funktion auf ganz I streng monoton fallend:

f′(x) < 0 für alle x I Ô f(x) streng monoton fallend.

Das Vorzeichen der Ableitung liefert lediglich ein hinreichendes Kriterium für Monotonie. Bei Funktionen, die an gewissen Stellen nicht di erenzierbar sind, muss man deshalb bei der Untersuchung auf Monotonie sorgfältig vorgehen und auf die Definition 5.23 zurückgreifen.

Gilt für die erste Ableitung einer Funktion f die Bedingung f′(x) ≥ 0 auf einem Intervall I, so ist die Funktion zumindest monoton wachsend auf I, allerdings nicht zwingend streng monoton. Gilt entsprechend für die erste Ableitung von f die Bedingung f′(x) ≤ 0, so ist die Funktion monoton fallend auf I, wenn auch nicht zwangsläufig streng monoton.

6.4.3 Krümmung

Auch die zweite Ableitung einer Funktion hat eine anschauliche Bedeutung. Die erste Ableitung beschreibt die Veränderung der Funktion. Auf dieselbe Art beschreibt die zweite Ableitung die Veränderung der Steigung.

Auch bei der Beurteilung der Krümmung betrachtet man die Funktion stets in Richtung zunehmender x-Werte. Außerdem ist das Vorzeichen der Steigung zu berücksichtigen. Die