Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

In der Regel besitzt ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Die Lösungen erhält man durch Rückwärtseinsetzen, indem man für die unbestimmten Unbekannten geeignete Parameter einführt. In Ausnahmefällen kann ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem jedoch auch unlösbar sein. Ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem ist niemals eindeutig lösbar.

2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Das entsprechende Pendant zu unterbestimmten Systemen sind überbestimmte Systeme, also Systeme mit mehr Gleichungen als Unbekannte.

Definition 2.4 (Überbestimmtes lineares Gleichungssystem)

Ein lineares Gleichungssystem, bei dem die Anzahl der Gleichungen größer als die Anzahl der Unbekannten ist, nennt man überbestimmt.

Beispiel 2.12 (Überbestimmtes lineares Gleichungssystem)

Bei dem linearen Gleichungssystem

wählen wir die letzte Zeile als Pivotzeile und multiplizieren mit den Faktoren −6,−1 und −2:

Auf den ersten Blick vermutet man, dass alle überbestimmten linearen Gleichungssysteme nicht lösbar sind. Schließlich gibt es mehr Bedingungen als Freiheitsgrade. Tatsächlich sind überbestimmte lineare Gleichungssysteme in der Regel nicht lösbar. Trotzdem können überbestimmte Systeme unter Umständen redundante Gleichungen enthalten und somit auch lösbar sein.

Beispiel 2.13 (Überbestimmtes lineares Gleichungssystem mit eindeutiger Lösung)

Wir verändern bei dem linearen Gleichungssystem aus Beispiel 2.12 die rechte Seite der dritten Gleichung von 10 auf 18:

Es liegt sicherlich an der speziellen Wahl der Zahlen, dass das lineare Gleichungssystem aus Beispiel 2.13 eine Lösung besitzt. Anschaulich lässt sich diese Problemstellung als Schnittbedingung von vier Geraden in einer Ebene interpretieren. Im Allgemeinen werden sich vier Geraden nicht in einem einzigen Punkt schneiden.

Überbestimmtes lineares Gleichungssystem

In der Regel besitzt ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem keine Lösung. In Ausnahmefällen kann es jedoch eindeutig lösbar sein oder sogar unendlich viele Lösungen besitzen.

Bei überbestimmten linearen Gleichungssystemen, die keine Lösung besitzen, kann man sogenannte Ausgleichswerte berechnen. Bei Ausgleichswerten sind die Gleichungen zwar nicht exakt erfüllt, die Werte werden jedoch so bestimmt, dass die Fehler in den einzelnen Gleichungen möglichst klein sind. Die Ausgleichsrechnung nach der sogenannten Methode der kleinsten Fehlerquadrate betrachten wir in Abschnitt 10.4.1.

2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme

Der Begri homogen kommt in der Mathematik an verschiedenen Stellen vor. Er taucht immer bei linearen Problemen auf, bei denen die rechte Seite der Gleichung null ist.

Definition 2.5 (Homogenes lineares Gleichungssystem)

Ein lineares Gleichungssystem, bei dem die rechte Seite nur aus Nullen besteht, nennt man homogen. Ansonsten nennt man es inhomogen.

Wenn bei allen Gleichungen auf der rechten Seite null steht, dann können wir eine spezielle Lösung sofort erraten. Denn wenn wir auf der linken Seite für alle Unbekannten die Null wählen, dann sind trivialerweise alle Gleichungen erfüllt. Entsprechend bezeichnet man diese Lösung als triviale Lösung. Bei homogenen linearen Gleichungssystemen besteht die eigentliche Herausforderung darin herauszufinden, ob es außer der trivialen Lösung noch weitere Lösungen gibt oder nicht. Wenn es außer der trivialen Lösung noch weitere Lösungen gibt, dann muss es nach Satz 2.1 unendlich viele Lösungen geben.

Beispiel 2.14 (Homogenes lineares Gleichungssystem)

Die Vorwärtselimination bei dem linearen Gleichungsystem

verläuft genau wie in Beispiel 2.4. Schließlich unterscheiden sich beide linearen Gleichungssysteme nur durch die rechte Seite. Die zweite Pivotzeile

Beispiel 2.15 (Homogenes lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen)

Das homogene lineare Gleichungssystem

ist bis auf die rechte Seite identisch mit dem linearen Gleichungssystem aus Beispiel 2.10. Die Eliminationsschritte ergeben

Homogenes lineares Gleichungssystem

Ein homogenes lineares Gleichungssystem besitzt stets die sogenannte triviale Lösung

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, . . . , xn = 0.

O en ist, ob es außer der trivialen Lösung noch weitere Lösungen gibt. Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat entweder nur die triviale Lösung oder unendlich viele Lösungen.

2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern

In den Beispielen 2.9, 2.10, 2.11 und 2.15 haben wir bereits gesehen, dass manche lineare Gleichungssysteme unendlich viele Lösungen besitzen. Bei diesen Beispielen beschreibt man die Lösung mithilfe von Parametern. Bei Problemen aus der Praxis treten manchmal bereits beim Aufstellen der Gleichungen Parameter auf. Bei diesen linearen Gleichungssystemen muss man in erster Linie klären, wann das Gleichungssystem überhaupt lösbar ist und wann die Lösung eindeutig ist. In beiden Situationen spricht man von Parametern. Wichtig ist hierbei, dass man diese beiden Fälle klar trennt. Im ersten Fall verwendet man Parameter, falls es unendlich viele Lösungen gibt, und im zweiten Fall sind die Parameter bereits Bestandteil des linearen Gleichungssystems.

Beispiel 2.16 (Lineares Gleichungssystem mit Parameter)

Das lineare Gleichungssystem

enthält den Parameter p. Bei verschiedenen Werten des Parameters p erhalten wir also unterschiedliche lineare Gleichungssysteme. Die Vorwärtselimination mit der ersten Zeile als Pivotzeile

Unser Ziel ist es, in der dritten Zeile die Unbekannte x2 zu eliminieren. Dazu multiplizieren wir die zweite Zeile mit dem Faktor 1 − p. Diese Umformung ist allerdings nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Faktor 1 − p nicht null wird. Den Sonderfall p = 1 müssen wir hier also getrennt behandeln. Für p = 1 ist die Unbekannte bereits aus der letzten Zeile eliminiert und das

System ist eindeutig lösbar mit x3 = 1 , x2 = 1 und x1 = 1.

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Eine eindeutige Lösung erhalten wir, falls der Faktor vor x3 in der letzten Zeile nicht null ist:

Für p = 2 ist die letzte Zeile eine Nullzeile und es ergeben sich unendlich viele Lösungen:

x3 = t, x2 = 1 − 4 t, x1 = 5 t.

Für p = −3 lautet die letzte Zeile 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 = 5 und somit gibt es keine Lösung. Wir können das Ergebnis folgendermaßen zusammenfassen: Für p ≠ 2 und p ≠ −3 gibt es die eindeutige Lösung

Lineares Gleichungssystem mit Parametern

Ein lineares Gleichungssystem mit Parametern kann man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen. Multipliziert man eine Gleichung mit einem Faktor, der einen Parameter enthält, dann muss man die Fälle, in denen der Faktor null wird, gesondert betrachten. Es ist zu untersuchen, für welche Parameterwerte das Gleichungssystem lösbar ist und für welche Parameterwerte die Lösung eindeutig ist.

Lineare Gleichungssysteme mit Parametern lassen sich prinzipiell mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen. Allerdings können dabei aufwendige Fallunterscheidungen erforderlich sein. In vielen Fällen lassen sich lineare Gleichungssysteme mit Parametern einfacher mithilfe von Matrizen lösen, siehe Kapitel 4.