Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Koch_Mathematik fur das Ingenieurstudium.pdf

Скачиваний:

107

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

17.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 15656 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 > Следующая >>>

5.10 Aufgaben

239

5.10 Aufgaben

Verständnisaufgaben

Aufgabe 5.1

(

) =

−

) +

Skizzieren Sie die Schaubilder der Geradenschar f

a x

1 mit Scharparameter a.

Aufgabe 5.2

(

Für welche Werte von ω hat das Polynom p x

2 ω x

a) zwei Nullstellen?

b) genau

eine Nullstelle?

c) keine Nullstelle?

(

) =

Aufgabe 5.3

Die Parabel y

4x wird an der y-Achse gespiegelt. Skizzieren Sie beide Parabeln. Wo liegt

der Scheitel

der gespiegelten Parabel und wie lautet ihre Funktionsgleichung?

= +

Aufgabe 5.4

)

Wie lautet die Gleichung der nach unten geö neten Normalparabel mit Scheitel S

Aufgabe 5.5

(− S

Skizzieren Sie die Schaubilder der Parabelschar f x

2a x 2a2 mit dem reellen Scharpa-

rameter

. Auf welcher Kurve liegen die

Scheitelpunkte der Parabelschar?

( ) =

−

Aufgabe 5.6

Berechnen Sie die maximalen Deﬁnitionsbereiche der folgenden Funktionen und berechnen Sie

die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

a) f

√

b) g

c) h x x

√

x 1

( ) =

−

( ) =

√

−

( ) =

−

Aufgabe 5.7

Eine abschnittsweise deﬁnierte Funktion f besteht−

aus drei Abschnitten. Im ersten Abschnitt

verläuft das Schaubild von f linear vom Punkt

0 0

bis zum Punkt

2 2 . Im dritten Abschnitt

über dem Intervall

5, 6

ist die Funktion

f konstant. Der zweite Abschnitt besteht aus einer Para-

( S

)

(

)

Punkt

3 4 , deren Schaubild die beiden Schaubilder der anderen Abschnitte

bel mit Scheitel im[

]

verbindet. Wie lautet die Funktionsgleichung von f?

ohne Lücke miteinander

(

S )

Aufgabe 5.8

Skizzieren Sie die Schaubilder der folgenden Funktionen:

a) f

(

)

b) f

x x

c) f

(

) = S

S S

( ) =

( ) = S

( +

(

) = S

S (

)

( ) =

(

) =

(S S +

)

Aufgabe 5.9

Skizzieren Sie die Schaubilder der folgenden Funktionen:

a) f x

SxS

b) f x

+2S

c) f

(x) =

2 x

+ S

d) f

(x) =

S + S

−

( ) =

( ) = S

Aufgabe 5.10

= −

Wie lauten die Funktionsgleichungen der Polynome vom Grad 5, die für x

2, x

1, x

1 und x

2 eine Nullstelle haben?

Aufgabe 5.11

Bestimmen Sie die Linearfaktorzerlegung des Polynoms p(x) = 2 x3 − 8x.

240 5 Funktionen

Aufgabe 5.12

Geben Sie die Funktionsgleichung eines Polynoms an, das für x = ±2 eine doppelte Nullstelle hat.

Aufgabe 5.13

(

)

Für

welche natürlichen Zahlen n enthält das Polynom p vom Grad n den Linearfaktor

p(x) = xn + xn−1 + xn−2 + . . . + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

Aufgabe 5.14

Skizzieren Sie die Schaubilder der folgenden Potenzfunktionen:

a) f

−

)

−+

b) f

(

( ) = (

) = −( +

−)

−

)

(

)

−

( ) = −(

) = ( +

Aufgabe 5.15

Welche Funktionen sind gerade, welche ungerade und welche weder gerade noch ungerade?

a) f

cos x sin x

f x

sin x2

f x

sin2 x

d) f

(x) =

f x

(

) =

(

) =

x +1

) = x

( ) =

(

) =

Aufgabe 5.16

Die Funktion f wird für x

0, 1

durch f x

x deﬁniert. Für die Werte von x, die nicht in

0 , 1

liegen, wird der

Funktionswert über die periodische Fortsetzung f

deﬁniert.

[

)

[

)

(

) =

(

) =

(

)

Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f.

Aufgabe 5.17

Für welche Parameter a und b ist die Funktion f

nach oben beschränkt, nach unten

beschränkt bzw. beschränkt?

(

) = b

Aufgabe 5.18

) =

(

)

Skizzieren Sie die Schaubilder der Funktionen fω

sin

ω t

für ω

1, 2, 3.

Aufgabe 5.19

(

Bestimmen Sie für die folgenden trigonometrischen Funktionen zunächst die Periode. Wo liegen die Nullstellen dieser Funktionen und wo nehmen Sie die maximalen und minimalen Funktionswerte an? Skizzieren Sie den ungefähren Verlauf der Funktionen.

a) f(x) = 3 sin ‹

•

b) f(x) = −π cos ‹2 x −

•

Aufgabe 5.20

(

)

Die Funktion f t

A cos

ω t

hat für t

0 den ersten Hochpunkt H π

und den

ersten

( ) =

( S

Tiefpunkt T 4π

S −

1 . Ermitteln Sie die Werte von m, A, ω und ϕ.

Aufgabe 5.21

(

)

Welche Periode hat die allgemeine Tangensfunktion f x

tan

und wo liegen ihre

2 x

Funktion. Welche x-Werte liefern den

Nullstellen? Skizzieren Sie den ungefähren Verlauf der( ) =

‰

−

Funktionswert f

(

Aufgabe 5.22

) = −

Wo haben die Funktionen Nullstellen? Skizzieren Sie den ungefähren Verlauf der Funktionen. a) f(t) = 14 t sin t b) f(t) = 14 t2 cos (4 t)

5.10 Aufgaben

241

Aufgabe 5.23

Skizzieren Sie die Schaubilder der folgenden Funktionen. Wie lautet die betragsfreie Darstellung?

a) f(x) = S2 sin(x)S + 1 b) f(x) = S2 sin(x) + 1S

Aufgabe 5.24

Bestimmen Sie Deﬁnitionsbereich, Wertebereich und Achsenschnittpunkte folgender Funktionen und erstellen Sie jeweils eine Skizze. Welche Funktion ist nach oben beschränkt, nach unten beschränkt bzw. beschränkt? Was kann man über die Monotonie sagen? Welche Funktion ist

symmetrisch zur x-Achse oder zur y-Achse?

b) f x

x x

a) f x

√x

x 1

( ) =

− +

( ) =

+1 x

c) f

d) f

( ) =

(

) =

−

Aufgabe 5.25

Berechnen Sie für die Folgen jeweils ein paar Folgenglieder. Sind die Folgen beschränkt, monoton oder alternierend? Haben die Folgen einen Grenzwert, wenn ja welchen?

a) ak

b) bk

2k+1

c) ck

+ (−k2)

−

Aufgabe 5.26

Wir betrachten die rekursiv deﬁnierte Folge, bei der das neue Folgenglied aus dem Produkt der beiden letzten Folgenglieder entsteht, also ak 2 ak ak 1, mit unterschiedlichen Anfangsgliedern

a1 und a2. Berechnen Sie jeweils die ersten Folgenglieder und untersuchen Sie die Folgen auf

Beschränktheit, Monotonie, Konvergenz und alternierendes Vorzeichen.

a) a1 = 1, a2 = −21

b) a1 = 1, a2 = 2

c) a1 = 1, a2 = 1

Aufgabe 5.27

ak2 mit dem Anfangsglied a1 2.

Wir betrachten die rekursiv deﬁnierte Folge ak 1

−

Berechnen Sie die ersten Folgenglieder. Gegen welchen Grenzwert konvergiert die Folge?

Aufgabe 5.28

‰

Richtig oder falsch? Wenn die beiden Folgen

und

bk) beide streng monoton fallend und

beschränkt sind, dann sind auch die Folgen

(ck )

ak(

)

und

(

) = (

) − (

)

streng

monoton fallend und beschränkt.

( ) = (

) + (

Aufgabe 5.29

Geben Sie für die Folgen jeweils eine asymptotische obere Schranke an:

a) ak

b) bk

c) ck

√9 k2

4 k

k 1 1

+ +

Aufgabe 5.30

Richtig oder falsch? Wenn man eine Funktion f, die an der Stelle x0 unstetig ist, mit einer Funktion g, die an der Stelle x0 auch unstetig ist, multipliziert, dann ist die Produktfunktion h = f g auch unstetig an der Stelle x0.

242

5 Funktionen

Aufgabe 5.31

ex+1 und g x

Skizzieren Sie die Schaubilder der beiden Funktionen f x

2x. Bestimmen Sie

alle Schnittpunkte der Schaubilder der beiden

Funktionen.

(

) =

(

) =

Aufgabe 5.32

Bestimmen Sie die reellen Zahlen a 0 und c so, dass die Exponentialfunktion f

c ax durch

die beiden Punkte mit den

Koordinaten

0 2

und

1 1

geht, und skizzieren Sie das Schaubild

(

)

( S )

(

) =

der Funktion.

Aufgabe 5.33

ex−1 wird an folgenden Achsen gespiegelt. Skizzieren Sie

Das Schaubild der Funktionen f x

die Schaubilder von

Sie die Funktionsgleichungen der gespiegelten Funktionen an.

und geben(

) =

c) Gerade y = x

a) x-Achse

b) y-Achse

Aufgabe 5.34

Bestimmen Sie alle Achsenschnittpunkte der Funktiont f t

sin 4 t

für t-Werte im

3 e−t

Intervall

. Skizzieren Sie die Schaubilder von

3 e

− ,

von

3 e

−

und von f in einem gemein-

[

∞)

( ) =

‰

−

samen

−

Koordinatensystem.

Aufgabe 5.35

lim

3 k

Berechnen Sie mithilfe des Grenzwertes für die Zahl e den Grenzwert von k→∞

‰

2 k

Aufgabe 5.36

Skizzieren Sie den ungefähren Verlauf der folgenden Funktionen und bestimmen Sie einen möglichst großen Deﬁnitionsbereich, auf dem eine Umkehrfunktion existiert. Geben Sie die Funkti-

onsgleichungen der Umkehrfunktionen an.

a) f

(x) =

b) f(x) = cos(x2)

c) f(x) = ln ‹

•

1 + x4

x + 1

Aufgabe 5.37

(

−

Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f

3 und bestimmen Sie den Deﬁnitions-

) = (

)

und Wertebereich von f. Wo ist die Funktion f umkehrbar? Bestimmen Sie eine Umkehrfunktion

f−

von f und skizzieren Sie das Schaubild der Umkehrfunktion.

Aufgabe 5.38

(

) =

2 x3

≥

Wir betrachten die Funktion f

für x

0. Skizzieren Sie die Schaubilder der Funktionen

−

und

f x

−

( )

(

)

Aufgabe 5.39

Bestimmen Sie alle Schnittpunkte der folgenden Funktionen mit der Geraden y

a) f

2 cos x

b) f

√

2 sin 2 x

c) f

tan

3 x=

( ) =

(

)

(

) =

(

)

Aufgabe 5.40

Für welche x-Werte sind die Funktionen f

(

) =

−

mit positivem Scharparameter a

deﬁniert? Wo schneiden die Funktionen die

x Achse und wo die Gerade y

1? Skizzieren Sie

√

ln x

Schaubild der Funktion f.

mithilfe der Schaubilder der Funktionen

ln x

und

das

(

−

)

(

+ )

5.10 Aufgaben

243

Rechenaufgaben

Aufgabe 5.41				(		±			S		)
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel, die die x-Achse in den Punkten					2					0
								3
schneidet und durch den Punkt		1 1	geht. Welche Koordinaten hat der Scheitel der		Parabel?
	(	S )					√

Aufgabe 5.42

Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms p(x) = Q(−1)k k2 xk.

k=1

Aufgabe 5.43

Teilen Sie die folgenden Polynome p mithilfe einer Polynomdivision durch das Polynom q(x) = x2 + x + 1.

a) p(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

b) p(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

Aufgabe 5.44

Geben Sie die Linearfaktorzerlegung des Polynoms p(x) = x3 + 2 x2 − 13x + 10 an. Bestimmen Sie die Koe zienten a3, a2, a1 und a0 des Polynoms q(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0, dessen Schaubild durch Verschieben des Schaubildes von p um 5 in Richtung der positiven x-Achse und um 2 in Richtung der negativen y-Achse entsteht?

Aufgabe 5.45

Bestimmen Sie alle Nullstellen der Polynome und geben Sie die Zerlegung in Linearfaktoren an:

a) p(t) = t6 + 6t5 + 5t4

b) f(u) = u8 − 15u4 − 16

Aufgabe 5.46

Bestimmen Sie Deﬁnitionsbereich und Nullstellen der folgenden gebrochenrationalen Funktionen:

4−

−

2 x2

−

a) f

(

) =

3−

b) f

(

) =

−

Aufgabe 5.47

Zerlegen Sie die folgenden unecht gebrochenrationalen Funktionen in eine Summe aus einem Polynom und einer echt gebrochenrationalen Funktion:

2 x

4x5

−

2 x3

−

a) f

( ) =

−

b) f

(

) =

Aufgabe 5.48

Bestimmen Sie für die folgenden gebrochenrationalen Funktionen eine Partialbruchzerlegung:

a) f x

b) f x

2 x

c) f x

5x2

2 x

x2 7x 12

( ) =

+ +

( ) =

−

( ) =

Aufgabe 5.49

Die Funktion f(x) = x3 − 3 x2 + 3 x + 1 ist punktsymmetrisch zum Punkt P (x0 S y0). Berechnen Sie die Koordinaten dieses Symmetriepunktes.

244 5 Funktionen

Aufgabe 5.50

Bestimmen Sie alle Nullstellen, Pole und Asymptoten der rationalen Funktionen. Besitzen die Funktionen Unstetigkeitsstellen, wenn ja welcher Art? Skizzieren Sie die Schaubilder.

a) f(x) =

−24

b) f(x) =

22+x2 −

c) f(x) =

+22x2 −28

− 8

Aufgabe 5.51

−

Skizzieren Sie die Schaubilder der Funktionen f

(

) =

− a

mit Scharparameter a.

Aufgabe 5.52

−

Skizzieren Sie die Schaubilder der Funktionen f(x) =

, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Aufgabe 5.53

(

)

−

sinh2 x

Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x die Gleichung cosh2 x

1 erfüllt ist.

Aufgabe 5.54

Berechnen Sie sämtliche Nullstellen der folgenden Funktionen:

a) f(x) = cos x + cos 2 x

b) f(x) = cos x + sin x − 1

Aufgabe 5.55

Berechnen Sie die Schnittpunkte der folgenden Funktionen mit der Geraden y

1. Ersetzen Sie

dabei sin x durch

cos2 x und verwenden Sie die Substitution u cos x.

a) f x

√

sin x cos x

b) f

cos x

(

) =

−

(

) =

2 cos =

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 5.56

Zwei Fahrzeuge fahren mit der Geschwindigkeit 30 ms hintereinander. Die Formel

s(t) = d + v t + 1 a t2

beschreibt die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t, wobei d die Startposition, v die Ausgangsgeschwindigkeit und a die konstante Beschleunigung sind. Der Fahrer des nachfolgenden Fahrzeugs nimmt an, dass das vorausfahrende Fahrzeug im ungünstigsten Fall mit a = −4 sm2 verzögern wird und er selbst auf jeden Fall a = −8 sm2 nach einer Reaktionszeit von 1 s erreicht. In welchem Abstand wird er dem vorausfahrenden Fahrzeug folgen, sodass es in einer kritischen Situation gerade noch zu keiner Kollision kommt? Wie groß wäre seine Kollisionsgeschwindigkeit bei diesem Abstand, wenn das vorausfahrende Fahrzeug mittels eines Bremsassistenten bei einer Notbremsung ebenfalls eine Verzögerung von a = −8 sm2 erreichen würde?

Aufgabe 5.57

Für die Stückzahlen eines neuen Einspritzsystems wird folgende Gesetzmäßigkeit prognostiziert: Im n-ten Jahr werden 5000 e−0.01(n−8)2 Stück verkauft. Besteht unter dieser Annahme unbegrenztes Wachstums oder stoßen die Stückzahlen irgendwann an eine Grenze bzw. sind wieder rückläuﬁg?

<<< < Предыдущая 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 15656 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2018280.06 Кб6group_sex.docx
#
24.11.201935.46 Кб5hgfgk,jgggk,j.docx
#
21.02.201667.9 Кб12Istoriya_ukr_kult_mk2.docx
#
21.02.20161.56 Mб37KaossPad3_Reference_Manual_Ru.pdf
#
21.02.2016296.36 Кб6KLISHENKO.pdf
#
21.02.201617.74 Mб107Koch_Mathematik fur das Ingenieurstudium.pdf
#
21.02.20162.04 Mб7Konspekt_teplofizika.doc
#
21.02.2016611.84 Кб20KR-nadijnist-el-meh-system.doc
#
20.08.2019517.12 Кб1KURSOVA_VARIANT2.doc
#
21.02.20162.57 Mб15Kursovoy_stroy_konstruktsii.docx
#
21.02.20162.35 Mб25KURS_P_EO-METODICA.doc