Satz 4.16 (Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen)

Für die Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen (n, n)-Matrix gilt:

LAlle Eigenwerte sind reell.

LDie Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht zueinander.

LEs gibt n paarweise orthogonale Eigenvektoren.

In der Informatik setzt man Eigenwerte und Eigenvektoren zur Analyse großer Datenmengen ein, wie sie beispielsweise bei der Mustererkennung oder bei neuronalen Netzen auftreten. Satz 4.16 bildet die Grundlage für die sogenannte Hauptachsentransformation. Solche Transformationen werden in der Mathematik bei der Beschreibung von Flächen verwendet. In der Physik und in der Mechanik verwendet man Hauptachsentransformationen, um Symmetrieachsen von Körpern zu ermitteln und Trägheitsmomente zu bestimmen.

4.7 Numerische Verfahren

In der Anwendung sind im Zusammenhang mit der linearen Algebra neben Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme vor allem Methoden zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren wichtig. Oftmals genügt es, die betragsmäßig größten Eigenwerte zu bestimmen. Bei der Analyse von Systemen liefern sie die wesentlichen Beiträge.

4.7.1 Potenzmethode

Die Potenzmethode ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung des betragsgrößten Eigenwerts und eines dazugehörigen Eigenvektors einer Matrix. Die Methode ist ein sogenanntes iteratives Verfahren.

Definition 4.20 (Potenzmethode)

Mit der Potenzmethode, auch Vektoriteration genannt, kann man eine Näherung für den betragsgrößten Eigenwert und einen dazugehörigen Eigenvektor einer quadratischen Matrix A berechnen:

(1)Finde einen geeigneten Startvektor x˜0 ≠ 0.

˜˜

(2)Berechne Näherungswerte x˜1, x˜2, . . . und λ1, λ2, . . . mit der Iterationsvorschrift

(3) Führe die Iteration so lange durch, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.