10.7 Anwendungen

Bisher haben wir die wichtigsten Begri e und Eigenschaften von Funktionen mit mehreren Variablen nur für den einfachsten Spezialfall mit zwei Variablen betrachtet. In Anwendungen, insbesondere bei Optimierungsproblemen, betrachtet man Funktionen, die von einer Vielzahl von Variablen abhängen. Solche Funktionen lassen sich in der Regel nicht durch Schaubilder visuell erfassen. Die analytischen Methoden, die wir in diesem Kapitel kennengelernt haben, lassen sich auf Funktionen mit mehr als zwei Variablen übertragen. Auch die Fehlerrechnung, die wir formal nur für Funktionen mit zwei Veränderlichen betrachten, lässt sich problemlos auf Funktionen mit mehr als zwei Veränderlichen anwenden.

10.7.1 Fehlerrechnung

Die Fehlerrechnung spielt in der Praxis eine wichtige Rolle. Prinzipiell ist jeder Messwert mit einem Messfehler, einer Ungenauigkeit behaftet. Die Frage ist nun, wie sich dieser Eingangsfehler in einer weiteren Rechnung auswirkt. Im ungünstigen Fall können selbst kleinste Fehler in den Eingangsgrößen zu großen Abweichungen im Ergebnis führen. Es gibt jedoch auch Situationen, bei denen Eingangsfehler kaum Auswirkung auf das Ergebnis haben.

An dieser Stelle verwenden wir die Notation für den Fehler aus Definition 6.17. Wir

f ≈ df = fx dx + fydy.

Hieraus lässt sich leicht eine Abschätzung des Fehlers herleiten. Wohlgemerkt: Wir bekommen durch den Di erenzialansatz nur eine Abschätzung des maximalen Fehlers. Der Fehler kann bei einer einzelnen Messung kleiner oder auch etwas größer als diese Abschätzung sein. Dennoch bekommen wir mit dieser Abschätzung eine gute Größenordnung der zu erwartenden Abweichung in der Ausgangsgröße.

Satz 10.7 (Abschätzung des maximalen Fehlers)

Näherungsweise abschätzen lässt sich

Um einen Eindruck zu bekommen, wie eine Funktion f(x, y) einen Eingangsfehler dämpft oder verstärkt, betrachten wir die vier elementaren Grundoperationen zwischen zwei Größen. Für die Summe bzw. Di erenz gilt

f(x, y) = x ± y, fx(x, y) = 1, fy(x, y) = ±1.

wir auch bei der Multiplikation oder Division den absoluten Fehler betrachten. Es stellt sich bei analoger Rechnung heraus, dass dieser von den Absolutwerten der Messgrößen abhängt. Somit entsteht in diesem Fall keine angenehme, einfache Formel. Stattdessen leiten wir nun den relativen Fehler her. Für das Produkt gilt

Fehlerauswirkung

Werden zwei Größen x und y

Laddiert oder subtrahiert, so addieren sich die absoluten Fehler.

Lmultipliziert oder dividiert, so addieren sich die relativen Fehler.

Beispiel 10.30 (Quadervolumen)

Das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche ist gegeben durch

V = a2c.

Die Kantenlängen betragen a = 5 und c = 10 mit einem relativen Fehler von 1 % und 2 %. Um den relativen Fehler des Volumens abzuschätzen, berechnen wir zunächst die partiellen Ableitungen der Funktion V (a, c) zu