Höhenlinien von Rotationsflächen

Die Höhenlinien von Rotationsflächen sind konzentrische Kreise um den Ursprung.

Beispiel 10.8 (Sombrero)

Die Funktion

sin ‰x2 + y2Ž

f(x, y) =

x2 + y2

besteht aus einem rotationssymmetrischen Sinus, dessen Amplitude mit dem Radius abnimmt. Das

10.2 Grenzwert und Stetigkeit

Analog zu Funktionen mit einer Variablen gibt es auch bei Funktionen mit mehreren Variablen den Begri der Stetigkeit. Man muss allerdings gleich erwähnen, dass die Situation hier etwas komplizierter ist. Im Eindimensionalen lautet die anschauliche Definition der Stetigkeit: Eine Funktion ist stetig, wenn man ihr Schaubild ohne abzusetzen zeichnen kann. Diese anschauliche Definition lässt sich nicht ohne Weiteres auf zwei Variablen erweitern.

10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen

Wir werden im zweidimensionalen Raum keine exakten Definitionen für Folgen und Grenzwerte einführen. Stattdessen beschreiben wir anschaulich, was der Grenzwert

bedeutet. Der Grenzwert existiert genau dann, wenn bei jeder Annäherung an die Stelle (x0, y0) die Folge der Funktionswerte gegen denselben Grenzwert konvergiert. Dabei müssen wir beachten, dass die Annäherung aus jeder Richtung der x-y-Ebene geschehen kann. Es müssen also viel mehr Möglichkeiten als im Fall einer Variablen geprüft werden.

Bei drei Variablen definiert man den Funktionsgrenzwert durch

und bei mehr als drei Variablen entsprechend.

und bei mehr als drei Variablen entsprechend.

Üblicherweise sind Funktionen, die bei praktischen Problemstellungen auftauchen, stetig. Alle elementaren Funktionen sind auch in mehreren Veränderlichen stetig. Der Nachweis der Stetigkeit einer Funktion geschieht in der Regel durch die Argumentation, dass die Funktion aus einfachen, elementaren Funktionstermen, die ihrerseits stetig sind, zusammengesetzt ist.

Unstetigkeitsstellen entstehen typischerweise bei zusammengesetzen Funktionen. Zum Nachweis der Unstetigkeit einer Funktion gibt man eine Stelle an, an der es zwei Richtungen gibt, aus denen die Annäherungen an diese Stelle zu verschiedenen Grenzwerten führen, siehe Beispiel 10.9.

10.3 Di erenziation

Wie im Fall von Funktionen einer Variablen behandeln wir nach der Stetigkeit nun die Di erenzierbarkeit. Was ist, anschaulich gesprochen, die Ableitung einer Funktion mit zwei Variablen an einer Stelle (x0, y0)?

10.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Di erenzierbarkeit

Um die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen mathematisch zu definieren, müssen wir zunächst die partielle Ableitung einführen. Wir haben in Abschnitt 10.1 gesehen, dass es für das Verständnis einer Funktion mit mehreren Variablen günstig ist, zunächst eine Variable festzuhalten. Auf diese Weise sind wir zu Schnittkurven gekommen. Auch hier machen wir uns die Situation zunächst etwas einfacher und halten eine Variable fest.

Definition 10.4 (Partielle Ableitung)

Die partielle Ableitung der Funktion f(x, y) nach x bzw. nach y an der Stelle (x0, y0) ist folgendermaßen definiert:

Dazu müssen die entsprechenden Grenzwerte existieren.

Definition 10.6 (Partielle Di erenzierbarkeit)

Die Funktion f heißt partiell di erenzierbar nach x bzw. y

Lan der Stelle (x0, y0), falls die partielle Ableitung fx bzw. fy an der Stelle (x0, y0) existiert.

Lauf der Menge M R2, falls die partielle Ableitung fx bzw. fy auf der Menge M R2 existiert.

Ist eine Funktion auf einer Menge partiell di erenzierbar, so entsteht durch die partielle Ableitung an allen Punkten dieser Menge eine neue Funktion.

Definition 10.7 (Partielle Ableitungsfunktion)

Bei einer partiell di erenzierbaren Funktion f(x, y) kann man neue Funktionen fx(x, y) bzw. fy(x, y) dadurch definieren, dass man jeder Stelle (x, y) die Steigung der Tangente in x-Richtung bzw. y-Richtung zuordnet:

(x, y) ( fx(x, y), (x, y) ( fy(x, y).

Diese Funktionen bezeichnet man als partielle Ableitungsfunktion in x bzw. in y.

Durch die partiellen Ableitungen entstehen also zwei neue Funktionen fx, fy R2 → R. Schauen wir uns die Definition der partiellen Ableitung an, so wird deutlich, dass wir für die praktische Berechnung der partiellen Ableitung keine neuen Rechenregeln benötigen. Es ist lediglich etwas Konzentration nötig, um nach der gewünschten Variablen abzuleiten und die andere dabei festzuhalten.

Berechnung der partiellen Ableitungen

Bei der Berechnung der partiellen Ableitungen geht man folgendermaßen vor:

10.3.2 Di erenzierbarkeit und Tangentialebene

Nachdem wir die partielle Di erenzierbarkeit, also die Di erenzierbarkeit in Richtung der Achsen, untersucht haben, betrachten wir nun die sogenannte totale Di erenzierbarkeit. Dazu wählen wir eine anschauliche Definition.

Definition 10.8 (Di erenzierbarkeit)

Eine Funktion f(x, y) heißt di erenzierbar an einer Stelle (x0, y0), wenn sie dort eine eindeutige Tangentialebene besitzt.

Für den Test, ob eine Funktion di erenzierbar ist oder nicht, gibt es ein gut nachprüfbares Kriterium. Dieses ist sogar notwendig und hinreichend, enthält also eine genau-dann-wenn- Bedingung.

Satz 10.1 (Di erenzierbarkeit)

Eine Funktion f(x, y) ist genau dann di erenzierbar auf einer Menge M R2, wenn beide partiellen Ableitungen auf M existieren und stetig sind.

Beispiel 10.12 (Rotationsparaboloid)

Wir betrachten das Rotationsparaboloid

f(x, y) = x2 + y2.

Die Funktion ist auf ganz R2 di erenzierbar und damit insbesondere stetig. Die partiellen Ableitungen

Beispiel 10.14 (Funktion mit unstetigen partiellen Ableitungen)

Wir betrachten die Funktion

Wir diskutieren die Frage, wie man eine Ebene an einen Punkt (x0, y0) einer Fläche z = f(x, y) so anlegt, dass die Steigungen von Funktion und Ebene zumindest in den Achsenrichtungen gleich sind.

Existieren die partiellen Ableitungen fx(x0, y0) und fy(x0, y0), so bezeichnen sie die Steigungen von f in x-Richtung und in y-Richtung an der Stelle (x0, y0). Steigungsvektoren in x-Richtung und in y-Richtung an der Stelle (x0, y0) sind

Der Normalenvektor n steht senkrecht auf beiden Steigungsvektoren und ergibt sich deshalb aus dem Vektorprodukt, siehe Definition 3.9.