601
16 Laplace-Transformation
In der Mathematik verwendet man die Laplace-Transformation zur Lösung von Di erenzialgleichungen. Sie ist nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Marquis de Laplace benannt. Insbesondere Anfangsund Randwertprobleme, die durch lineare Differenzialgleichungen und Di erenzialgleichungssysteme beschrieben werden, lassen sich mithilfe der Laplace-Transformation lösen. Auch zur Lösung von partiellen Di erenzialgleichungen wird die Laplace-Transformation verwendet.
In der Mechanik und in der Elektrotechnik, speziell in der Regelungstechnik, werden Systeme durch sogenannte Übertragungsfunktionen beschrieben. Eine Übertragungsfunktion beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen und den Ausgangsgrößen. Somit charakterisiert die Übertragungsfunktion ein System. Die Laplace-Transformation stellt ein mathematisches Instrument dar, mit dem man die Eigenschaften der Übertragungsfunktion elegant bestimmen kann.
Eine mathematisch korrekte und vollständige Darstellung der Laplace-Transformation erfordert ein tiefergehendes Verständnis. Wir konzentrieren uns in diesem Kapitel auf anwendungsnahe Aspekte und verzichten an der einen oder anderen Stelle auf mathematische Feinheiten.
16.1 Bildbereich
Bei der Laplace-Transformation wird einer Funktion im Zeitbereich eine Funktion im sogenannten Bildbereich zugeordnet. Synonym für den Bildbereich wird in der Literatur auch vom Frequenzbereich oder Spektralbereich gesprochen. Da die Anwendungen der Laplace-Transformation jedoch sehr vielseitig sind, verwenden wir hier etwas neutraler den Begri Bildbereich. Die Funktion im Zeitbereich hängt von einer reellen Veränderlichen ab, die Funktion im Bildbereich von einer komplexen Veränderlichen. Dabei handelt es sich um eine eins-zu-eins-Zuordnung. Alle Eigenschaften der Zeitfunktion spiegeln sich in der Spektralfunktion wieder und umgekehrt.
16.1.1 Definition
Die Laplace-Transformation ist genau wie die Fourier-Transformation eine Integraltransformation, siehe Abschnitt 15.1. Die Unterschiede zwischen der Laplace-Transformation und der Fourier-Transformation betrachten wir in Abschnitt 16.1.2 genauer. Für das Verständnis der Laplace-Transformation setzen wir in diesem Kapitel jedoch keinerlei Kenntnisse über die Fourier-Transformation voraus.
602 |
16 Laplace-Transformation |
Definition 16.1 (Laplace-Transformation)
Die Laplace-Transformation ordnet einer Funktion f im Zeitbereich eine Funktion F im Spektralbereich zu. Die Laplace-Transformation der Funktion f ist definiert durch
f |
t |
|
|
|
|
F |
s |
|
∞ f |
t |
e s t dt. |
|
) |
c s |
) = S0 |
||||||||||
|
( |
|
( |
|
( |
) − |
||||||
Die Variable t im Zeitbereich ist reell und die Variablec s s im Spektralbereich ist komplex. Man verwendet das Korrespondenzsymbol für die Laplace-Transformation.
Bei der Laplace-Transformation spielen negative Parameterwerte der Zeitfunktion keine Rolle. Man nennt die Laplace-Transformation deshalb auch eine einseitige Integraltransformation. Es genügt, wenn die Zeitfunktion im Intervall [0, ∞) definiert ist. Einschaltvorgänge bei technischen Anwendungen lassen sich durch solche Zeitfunktionen beschreiben. Die Laplace-Transformation ist über ein uneigentliches Integral definiert. Für jeden einzelnen t-Wert einer Zeitfunktion muss man deshalb prüfen, ob das uneigentliche Integral existiert. Typischerweise ergeben sich bei der Transformation einer Zeitfunktion gewisse Einschränkungen an den Gültigkeitsbereich des Parameters s im Bildbereich, siehe Beispiel 16.1 und Beispiel 16.2.
Beispiel 16.1 (Laplace-Transformation von Potenzfunktionen)
a) Die Laplace-Transformation der konstanten Zeitfunktion f(t) = 1 ergibt sich aus
f |
t |
|
1 |
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F |
|
s |
|
|
|
∞ |
1 |
|
e |
|
s t dt |
|
e−s t |
∞ |
lim |
e−s t |
|
1 |
. |
|||
) = |
c s |
( |
) = S0 |
|
− |
= |
+ |
||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
s Wt=0 = t→∞ s |
s |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
s |
positiv ist, |
geht der Grenzwert gegen null |
|||||||
Unter der Voraussetzung, dass der Realteil von− |
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
und es gilt |
c |
s F |
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||||||
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1 |
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||||||
f(t) = 1 |
(s) = |
|
, Re(s) > 0. |
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|||||||||||||||||
s |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
b)Zur Berechnung der Laplace-Transformation von f(t) = t verwenden wir die Regel der partiellen Integration, siehe Satz 7.14:
f t |
t |
|
|
|
|
F s |
|
t e |
|
s t |
dt |
t |
e |
s t |
∞ |
|
1 |
|
|
e |
s t |
dt. |
|
|||||
c s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( ) = |
|
|
0 ∞ |
f |
− |
|
|
= f |
|
|
−s |
Wt=0 |
0 |
∞ |
|
|
|
−s |
|
|
|
|||||||
|
( ) = S |
g |
|
−g |
− S |
f |
|
−g |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® ±′ |
|
® ± |
|
|
®′ |
|
± |
|
|
|
|||||||||
Unter der Voraussetzung, dass der Realteil von s positiv ist, gilt für den Grenzwert |
||||||||||||||||||||||||||||
lim t |
e−s t |
= |
0, |
|
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|||
t→∞ |
s |
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gegen un- |
|||
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e |
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t |
|
denn die −-Funktion mit negativem Exponenten geht schneller gegen null als |
|
|||||||||||||||||||||||||||
endlich geht, siehe Beispiel 6.19. Zusammen mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil a) ergibt sich
f(t) = t c |
s |
1 |
|
|
F (s) = |
|
, Re(s) > 0. |
||
s2 |
||||
16.1 Bildbereich |
603 |
c) Das Ergebnis aus Aufgabenteil b) lässt sich auf Potenzen f t |
tn mit beliebiger natürlicher |
Hochzahl n verallgemeinern. Dazu verwenden wir wieder die Regel der partiellen Integration, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
siehe Satz 7.14: |
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( ) = |
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||||||||||||
fn t |
|
|
tn |
|
|
|
|
Fn s |
|
|
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|
tn |
e |
|
|
s t |
|
dt tn |
e |
s t |
∞ |
|
|
|
n tn 1 |
|
e |
s t |
dt. |
||||||||||||||||
|
|
|
c s |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
∞ |
|
|
−s |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
= f |
|
|
|
−s |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) = S |
f |
|
|
g |
|
|
|
−g |
|
Wt=0 − S |
|
f |
−g |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
® |
±′ |
|
® ± |
|
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|
|
´¹¹¹¹¸¹¹¹¹¶′ |
± |
|
|||||||||||||
Wenn der Realteil von s positiv ist, dann gilt |
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
tn |
e−s t |
|
∞ |
|
|
|
lim tn |
e−s t |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
s |
Wt |
= |
0 |
= t→∞ |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
wird durch die e-Funktion mit negativem Exponenten dominiert, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
denn |
das Wachstum vom t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
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siehe Beispiel 6.19. Somit ergibt sich das Zwischenergebnis |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
fn |
|
t |
|
|
tn |
|
|
|
|
Fn |
|
|
s |
|
n |
∞ tn |
|
|
1 e |
|
s t dt |
|
n |
Fn |
|
1 |
|
s |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
c s |
( |
|
|
|
|
− |
− |
= |
− |
( |
) |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
) = s 0 |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
S
Dieses Zwischenergebnis stellt eine rekursive Beziehung zwischen der Laplace-Transformation von tn und der Laplace-Transformation von tn−1 dar. Dadurch können wir Schritt für Schritt
die Hochzahl erniedrigen |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Fn s |
n |
Fn 1 s |
|
n |
|
n 1 |
Fn 2 |
|
s . . . |
|
n |
|
n 1 |
. . . |
3 |
F2 |
s |
n |
|
n 1 |
. . . |
3 |
|
2 |
F1 s |
|||||||
|
|
|
s |
|
s |
s |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
( ) = s |
− ( ) = |
s |
|
− |
|
− |
( ) = |
1 |
|
= |
|
|
− |
|
|
|
( ) = |
|
|
− |
( ) |
|||||||||||
und das Problem auf das Ergebnis F1 |
|
s |
|
|
|
aus Aufgabenteil b) zurückführen. Insgesamt |
||||||||||||||||||||||||||
( |
) = s2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
erhalten wir die Formel |
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|||||||||
fn(t) = tn |
c |
s |
F (s) = |
n! |
, Re(s) > 0. |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
sn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ì |
|||||||||||||||||||||
Diese Formel werden wir später zur Transformation von Polynomen verwenden. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Beispiel 16.2 (Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen)
Wir betrachten Exponentialfunktionen der Form eat mit komplexem Parameter a. Die LaplaceTransformation dieser Zeitfunktion ergibt sich aus
f |
t |
|
|
eat |
|
|
|
|
F |
|
s |
|
|
eat e |
|
s t dt |
|
|
e |
|
a |
s |
t dt |
|
e(a−s)t |
∞ . |
|||
) = |
c s |
( |
) = |
0 ∞ |
− |
= |
|
( |
|
− ) |
= |
||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
S |
0 ∞ |
|
|
a |
− |
s |
Wt |
0 |
||||||||||||||
Damit der Grenzwert |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||
lim |
e(a−s)t |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t→∞ a |
s |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||
existiert, müssen wir fordern, dass der Realteil im Exponent negativ ist. Dies ist der Fall, falls der |
|||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Realteil von s größer als der Realteil von a ist. Dann erhalten wir |
|
||||||||||||
f(t) = ea t |
c |
s |
|
F (s) = |
1 |
, Re(s) > Re(a). |
|
|
|
||||
|
s a |
|
|
|
|||||||||
Durch die Bedingung Re |
( |
s |
) > |
Re |
( |
a− liegt die Polstelle s |
= |
a nicht im |
Definitionsbereich der |
||||
Bildfunktion F . |
|
|
|
|
) |
|
|
Ì |
|||||
604 |
16 Laplace-Transformation |
16.1.2 Laplaceund Fourier-Transformation
Die Laplaceund die Fourier-Transformation sind formal sehr ähnlich definiert. In diesem Abschnitt beleuchten wir die Unterschiede und die Gemeinsamkeiten beider Integraltransformationen.
Formal erkennt man sofort, dass die Integrationsintervalle bei der Laplace-Transformation und der Fourier-Transformation unterschiedlich sind. Die Laplace-Transformation bezeichnet man als einseitige Transformation, da der Integrationsbereich bei null startet. Bei der Fourier-Transformation wird über den gesamten Bereich der reellen Zahlen integriert. Man bezeichnet die Fourier-Transformation als zweiseitige Transformation.
Der zweite Unterschied entsteht durch die Exponenten der e-Funktionen. Bei der LaplaceTransformation wird die Funktion mit e−s t multipliziert, bei der Fourier-Transformation mit e−i 2 π f t. Da s bei der Laplace-Transformation komplexe Werte annehmen darf, aber f bei der Fourier-Transformation rein reell ist, ist die Fourier-Transformation gewissermaßen ein Spezialfall der Laplace-Transformation.
Laplaceund Fourier-Transformation
Bei einer Funktion f mit f(t) = 0 für t < 0 ist die Fourier-Transformation ein Spezialfall der Laplace-Transformation. Man kann die Fourier-Transformierte dadurch berechnen, dass man in der Laplace-Transformierten s durch i 2 π f ersetzt.
Beispiel 16.3 (Laplaceund Fourier-Transformation)
Die Laplace-Transformation der e-Funktion |
|
|
|
|
|||||
f t |
ea t |
c |
s F s |
1 |
, Re s |
|
Re a |
||
s a |
|
||||||||
( ) = |
|
( ) = |
|
|
|
|
a t |
|
|
|
|
|
( ) > ( ) |
||||||
kennen wir aus Beispiel 16.3. Die Funktion f˜ t |
|
e |
|
σ t hat wegen der Einheitssprungfunktion |
|||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
für alle negativen t-Werte den Wert null. Die Fourier-Transformation von f˜ erhalten wir aus der |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
( ) |
|
|
|||
Laplace-Transformation von f, indem wir s |
= |
i 2 π f setzen: |
|
|
||||||||||||
|
a t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
f˜(t) = e |
|
σ(t) |
|
c |
s F (i 2 π f) = |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
i 2 π f a |
|
|
||||||||||||
Um die Bedingung |
Re s |
|
Re a |
zu erfüllen, |
müssen wir a 0 fordern. Das Ergebnis stimmt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
< |
|
|||||||
mit dem Ergebnis aus Beispiel 15.3 überein. |
|
|
|
|
Ì |
|||||||||||
|
|
|
|
( ) > |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Die Laplace-Transformation besitzt einen sogenannten konvergenzerzeugenden Faktor. Dieser Faktor ist der Realteil von s. Bereits in Beispiel 16.1 und Beispiel 16.2 haben wir gesehen, dass die Laplace-Transformation nicht für alle komplexen Zahlen s, sondern nur für diejenigen komplexen Zahlen s definiert ist, deren Realteil größer als eine bestimmte Schranke ist. Das Konvergenzgebiet der Laplace-Transformation besteht also aus einer nach rechts o enen Halbebene in der Gaußschen Zahlenebene. Durch den konvergenzerzeugenden Faktor können mit der Laplace-Transformation Funktionen transformiert werden, für die die Fourier-Transformation nicht definiert ist.