5.7 Umkehrfunktionen

Zu jeder umkehrbaren Funktion können wir eine Umkehrfunktion definieren. Dabei fordern wir, dass die Anwendung der Umkehrfunktion auf die Funktion die Wirkung der Funktion gerade aufhebt und umgekehrt.

Definition 5.54 (Umkehrfunktion, inverse Funktion)

Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion f−1 einer umkehrbaren Funktion f ist definiert durch

f−1 (f(x)) = x und f ‰f−1(x)Ž = x.

Die Komposition von Funktion und Umkehrfunktion erzeugt gerade wieder das Ausgangselement. Bildet man also zunächst x auf f(x) ab und wendet auf das Ergebnis anschließend f−1 an, so erhält man wieder x zurück. Die Umkehrfunktion darf nicht mit dem Kehrwert einer Funktion verwechselt werden!

Nachdem festgestellt ist, dass eine Funktion umkehrbar ist, stellt sich die Frage, wie die Umkehrfunktion dann auch bestimmt werden kann. Die Umkehrfunktion kann grafisch oder auch rechnerisch bestimmt werden.

Bestimmung der Umkehrfunktion

Man bestimmt die Umkehrfunktion einer umkehrbaren Funktion f in zwei Schritten:

(1)Durch Auflösen der Funktionsgleichung y = f(x) nach x erhält man x = f−1(y).

(2)Vertauschen von x und y ergibt eine neue Funktion y = f−1(x).

Durch das Vertauschen von x und y werden Definitionsbereich und Wertebereich vertauscht. Das Schaubild der Umkehrfunktion erhält man durch Spiegeln des Schaubildes der Funktion an der ersten Winkelhalbierenden.

5.7.2 Wurzelfunktionen

Die Überlegungen aus Beispiel 5.66 lassen sich auf alle Potenzfunktionen mit natürlichen Hochzahlen übertragen. Potenzfunktionen mit geraden Hochzahlen sind auf dem Intervall [0, ∞) streng monoton wachsend und damit umkehrbar. Potenzfunktionen mit ungeraden Hochzahlen sind auf der Menge der reellen Zahlen streng monoton wachsend und damit umkehrbar.

Definition 5.55 (Wurzelfunktionen)

Die Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen:

Dabei ist n eine natürliche Zahl.

Auch für die Wurzelfunktionen können wir einige grundlegende Eigenschaften zusammenfassen. Eine Besonderheit ist hier der Definitionsbereich, der vom Exponenten abhängt.

5.7.3 Arkusfunktionen

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen bezeichnet man als Arkusfunktionen. Aufgrund der Periodizität sind die trigonometrischen Funktionen auf der Menge der reellen Zahlen sicherlich nicht umkehrbar. Für die Umkehrfunktion muss man jede trigonometrische Funktion auf ein Teilintervall einschränken, in dem sie streng monoton ist.

Der Sinus ist zwischen −π2 und π2 streng monoton wachsend und somit auf diesem Intervall umkehrbar. Der Kosinus ist zwischen 0 und π streng monoton fallend und somit auf diesem Intervall umkehrbar.

Definition 5.56 (Arkussinus und Arkuskosinus)

Die Umkehrfunktion des Sinus auf dem Intervall [−π2 , π2 ] nennt man Arkussinus:

f(x) = sin x f−1(x) = arcsin x.

Die Umkehrfunktion des Kosinus auf dem Intervall [0, π] nennt man Arkuskosinus:

f(x) = cos x f−1(x) = arccos x.

Grafisch erhält man den Arkussinus durch Spiegelung des Sinus an der ersten Winkelhalbierenden. Dementsprechend kann man auch die Eigenschaften des Sinus in die Eigenschaften des Arkussinus transformieren.

Beispiel 5.68 (Werte des Arkussinus)

22

c)Der Ausdruck arcsin (π) ist nicht definiert. Die Zahl π liegt nicht im Definitionsbereich des

Mithilfe des Arkussinus lassen sich Gleichungen auflösen, die den Sinus enthalten. Er wird meistens dann verwendet, wenn aus einem bekannten Sinuswert zugehörige Winkel bestimmt werden sollen.

Gleichungen lösen mit Arkussinus

Der Sinus ist nur auf der halben Periode umkehrbar. Um alle Lösungen der Gleichung

sin x = y

Beispiel 5.69 (Arkussinus)

Beispiel 5.69 zeigt, dass man beim Lösen einer trigonometrischen Gleichung mit dem Arkussinus sehr sorgfältig vorgehen muss, damit man nicht einen Teil der Lösungen verliert. Das Lösen trigonometrischer Gleichungen mit dem Arkuskosinus verläuft analog zum Vorgehen beim Arkussinus. Wichtig hierbei ist wiederum die Mehrdeutigkeit des gesuchten Winkels.

Gleichungen lösen mit Arkuskosinus

Der Kosinus ist nur auf der halben Periode umkehrbar. Um alle Lösungen der Gleichung

cos x = y

zu bestimmen, berechnet man die erste Lösung direkt mit dem Arkuskosinus, also x0 = arccos y. Die zweite Lösung ergibt sich durch x1 = −arccos y. Alle Lösungen ergeben sich wegen der Periode 2π zu

x = arccos y + 2 k π, x = −arccos y + 2 k π, k Z.

Im Gegensatz zum Sinus und zum Kosinus ist der Tangens auf der vollen Periode streng monoton wachsend und somit umkehrbar. Dies gilt auch für den Kotangens.

Definition 5.57 (Arkustangens und Arkuskotangens)

Die Umkehrfunktion des Tangens auf dem Intervall (−π2 , π2 ) nennt man Arkustangens:

f(x) = tan x f−1(x) = arctan x.

Entsprechend bezeichnet man die Umkehrfunktion des Kotangens auf dem Intervall

(0, π) als Arkuskotangens:

f(x) = cot x f−1(x) = arccot x.

Wir betrachten nun zunächst den Arkustangens etwas genauer. Bei der Behandlung der komplexen Zahlen in Kapitel 11 werden wir sehen, dass der Arkustangens eine wichtige Funktion zur Bestimmung des Winkels einer komplexen Zahl darstellt.

Beispiel 5.72 (Werte des Arkustangens)

a) Es ist arctan (1) = π , denn tan ‹ π • = 1.

44

Gleichungen lösen mit Arkustangens

Der Tangens ist auf der vollen Periode umkehrbar. Alle Lösungen der Gleichung

tan x = y

ergeben sich wegen der Periode π zu

x = arctan y + k π, k Z.