Definition 6.7 (Ableitungen höherer Ordnung)

Die Ableitung der Ableitung bezeichnet man als zweite Ableitung. Durch wiederholtes Di erenzieren erhält man so Ableitungen beliebiger Ordnung:

6.2 Ableitungstechnik

Die Bestimmung der Ableitung einer Funktion durch Grenzwertberechnung gestaltet sich bereits bei einfachen Beispielen sehr mühsam. Wir wollen deshalb Regeln aufstellen, die die Berechnung der Ableitung vereinfachen. Außerdem werden wir zeigen, welcher Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Ableitung ihrer Umkehrfunktion besteht. Schließlich stellen wir eine Methode vor, mit der man Ableitungen auf Gleichungen anwenden kann.

6.2.1 Ableitungsregeln

Wie wir bereits mehrfach gesehen haben, sind viele Funktionen aus elementaren Funktionen, wie etwa Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmus, Sinus und Kosinus, zusammengesetzt. Kennt man die Ableitungen dieser elementaren Funktionen, so kann man mithilfe von Ableitungsregeln für Summen, Produkte, Quotienten und zusammengesetzte Funktionen die Ableitung beliebiger Funktionen bestimmen.

Ableitung einer konstanten Funktion

Eine konstante Funktion hat überall die Steigung null:

f(x) = C Ô f′(x) = 0.

Ein konstanter Faktor C vor einer Funktion skaliert die y-Werte, lässt aber die x-Werte unverändert. Im Steigungsdreieck ändert sich also nur der y-Wert um den Faktor C. Deshalb ändert sich die Steigung um den Faktor C.

Satz 6.5 (Faktorregel)

Beim Ableiten bleibt ein konstanter Faktor vor einer Funktion erhalten:

(C f(x))′ = C f′(x).

Beispiel 6.9 (Faktorregel)

Bei der Berechnung der Ableitungsfunktion von f(x) = 3 sin x ignorieren wir zunächst den konstanten Faktor 3 und bilden die Ableitung von sin x:

Bei Summen und Di erenzen darf man die Grenzwerte einzeln bilden. Somit darf man auch die Ableitungen von Summen und Di erenzen einzeln berechnen.

Satz 6.6 (Summenregel)

Beim Ableiten einer Summe oder Di erenz von Funktionen darf man jede Funktion einzeln di erenzieren:

(f(x) ± g(x))′ = f′(x) ± g′(x).

Beispiel 6.10 (Summenregel)

Die Funktion f(x) = x2 + cos x besteht aus der Summe zweier Funktionen. Bei der Ableitung dürfen wir beide Teile getrennt ableiten:

Die Regel zur Ableitung eines Produktes aus zwei Funktionen f und g ist nicht so einfach, wie wir uns das auf den ersten Blick vielleicht vorstellen. Im Allgemeinen darf man nicht einfach das Produkt der beiden Ableitungen f′ und g′ bilden. Für die Ableitung eines Produktes betrachten wir zur Herleitung der Regel den Grenzwert des Di erenzenquotienten

Den Ausdruck im Zähler erweitern wir geschickt und teilen den Bruch in zwei Brüche auf:

Satz 6.7 (Produktregel)

Beim Ableiten eines Produktes zweier Funktionen f und g summiert man das Produkt aus der Ableitung der ersten Funktion f′ und der zweiten Funktion g und das Produkt aus der ersten Funktion f und der Ableitung der zweiten Funktion g′:

(f(x) g(x))′ = f′(x) g(x) + f(x) g′(x).

Beispiel 6.11 (Produktregel)

a) Die Ableitung der Funktion f(x) = x ex berechnen wir mit der Produktregel

f′(x) = 1 ex + x ex = (1 + x) ex.

b)Bei der Funktion f(x) = ‰2 x2 − 7 x + 5Ž (sin x + cos x) könnte man zuerst die Klammern ausmultiplizieren und dann die Ableitung berechnen. Eleganter ist jedoch, die Produktregel direkt anzuwenden:

f′(x) = (4 x − 7) (sin x + cos x) − ‰2 x2 − 7 x + 5Ž (cos x − sin x) .

c) Auch die Ableitung der Funktion f(x) = sin2 x kann man mit der Produktregel berechnen, indem man die Funktion in der Form f(x) = sin x sin x darstellt:

f′(x) = cos x sin x + sin x cos x = 2 sin x cos x.

Die Ableitungsregel für einen Quotienten aus zwei Funktionen ergibt sich als unmittelbare Konsequenz aus der Produktregel. Wenn sich die Funktion h als Quotient der Zählerfunktion f und der Nennerfunktion g darstellen lässt, dann kann man die Funktion f im Zähler auch als Produkt der Funktion h und der Funktion g im Nenner darstellen:

Die Ableitung von f kann man mit der Produktregel bestimmen. Es gilt

f′(x) = h′(x) g(x) + h(x) g′(x).

Diese Gleichung lösen wir nach h′ auf:

h′(x) = f′(x) − h(x) g′(x). g(x) g(x)

Schließlich ersetzen wir h durch den Quotienten aus f und g und bringen beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Satz 6.8 (Quotientenregel)

Beim Ableiten eines Quotienten zweier Funktionen f und g benutzt man die Formel