8.5 Numerische Verfahren

8.5 Numerische Verfahren

Werte von Potenzfunktionen, Polynomen und rationalen Funktionen lassen sich mithilfe der elementaren Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division berechnen. Diese Funktionen gehören zur Menge der algebraischen Funktionen. Funktionen, die nicht algebraisch sind, nennt man transzendent. Typische Vertreter der transzendenten Funktionen sind die e-Funktion, der Logarithmus, die Sinusund Kosinusfunktion.

8.5.1 Berechnung von Funktionswerten

Berechnungsverfahren für Funktionswerte transzendenter Funktionen ergeben sich aus der Darstellung dieser Funktionen durch Potenzreihen. Tatsächlich werden zur Berechnung von Funktionswerten in Computern oft nicht die hier vorgestellte Potenzreihenmethode sondern andere Verfahren, wie beispielsweise der CORDIC-Algorithmus, verwendet. Dabei spielt neben der Genauigkeit die Berechnungse zienz eine wesentliche Rolle.

Beispiel 8.15 (Berechnung von Sinuswerten)

Unser Ziel ist, ein Berechnungsverfahren anzugeben, das mithilfe der vier Grundrechenarten einen Näherungswert für den Sinus einer reellen Zahl x berechnet. Dabei fordern wir, dass der Näherungswert y˜ vom exakten Wert y = sin x um weniger als 5 10−8 abweicht. Aufgrund der Periodizität genügt es, x-Werte im Bereich zwischen 0 und 2 π zu betrachten. Soll der Sinus für einen x-Wert, der außerhalb dieses Bereichs liegt, berechnet werden, so addieren wir ein geeignetes ganzzahliges Vielfaches von 2 π zu x und erhalten einen entsprechenden Wert zwischen 0 und 2 π. Alle x-Werte größer als π können wir aufgrund der Symmetrie sin (x − π) = −sin x auf Werte zwischen 0 und π zurückführen. Mit der Symmetriebeziehung

sin ( π2 − x) = sin ‰ π2 + xŽ

können wir unsere Berechnung auf das Intervall zwischen 0 und π2 beschränken. Berücksichtigt man nun noch die Doppelwinkelformel

sin 2 x = 2 sin x cos x = 2 sin x sin (x + π2 ),

so können wir mit einer Formel, die für x-Werte im Bereich zwischen 0 und π4 gilt, Sinuswerte für alle reellen Zahlen bestimmen. Insgesamt haben wir folgende Reduktion im Argument x erreicht:

R Ð→ [0, 2π] Ð→ [0, π] Ð→ 0, π2 Ð→ 0, π4 .

Die Potenzreihe des Sinus mit Entwicklungsstelle x0 = 0 lautet:

Wenn wir die Reihe nach dem Glied mit der Potenz x9 abbrechen, dann lässt sich die maximale Abweichung zwischen dem Näherungswert y˜ und dem exaktem Wert y nach dem Leibniz-Kriterium aus Satz 8.2 abschätzen durch den Betrag des ersten vernachlässigten Reihenglieds: