5.4 Sinus, Kosinus und Tangens

5.4 Sinus, Kosinus und Tangens

Schallwellen, elektromagnetische Wellen, Bahnkurven von Planeten und Satelliten und vieles mehr werden mathematisch durch Sinus und Kosinus beschrieben. Diese Funktionen sind also grundlegend für das Verständnis vieler Sachverhalte in den Naturwissenschaften und in der Technik. Sinus und Kosinus verwendet man insbesondere zur Beschreibung periodischer Vorgänge und Schwingungen.

5.4.1 Definition am Einheitskreis

In Abschnitt 1.4 haben wir Sinus und Kosinus für Winkel im rechtwinkligen Dreieck definiert. Diese Definition kann man als Grundlage für die Definition der Sinusund Kosinusfunktion verwenden. Um Sinus und Kosinus als Funktion beliebiger reeller Zahlen zu definieren, betrachtet man Sinus und Kosinus in Abhängigkeit von der Bogenlänge. Die Bogenlänge ist dabei nicht auf einen Bereich zwischen 0 und 2 π eingeschränkt. Wir lassen beliebig viele Umdrehungen des Einheitskreises zu. Wobei wir Drehungen im mathematisch positiven Sinn, also entgegen dem Uhrzeigersinn, eine positive und Drehungen im mathematisch negativen Sinn eine negative Bogenlänge zuordnen. Somit durchläuft die Bogenlänge den kompletten Bereich der reellen Zahlen.

5.4.2 Eigenschaften

Die meisten Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen lassen sich direkt aus der Definition am Einheitskreis herleiten. In diesem Abschnitt fassen wir die wichtigsten Eigenschaften von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens zusammen.

Die Eigenschaften des Kosinus sind sehr ähnlich zu denen des Sinus. Am au älligsten ist der Unterschied im Symmetrieverhalten.

Sinus und Kosinus lassen sich durch geeignete Verschiebungen ineinander überführen. Man

sagt, der Sinus eilt dem Kosinus um π nach.

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Satz 5.10 (Verschiebung von Sinus und Kosinus)

Für jede beliebige reelle Zahl x gelten folgende Formeln:

Die Additionstheoreme geben Auskunft darüber, wie man den Sinus und Kosinus der Summe oder Di erenz zweier Winkel mithilfe der einzelnen Sinusund Kosinuswerte berechnet. Der Nachweis der Formel erfolgt recht elegant mithilfe der Multiplikation zweier Rotationsmatrizen, siehe Abschnitt 4.8.1.

Satz 5.11 (Additionstheoreme für Sinus und Kosinus)

Für beliebige reelle Zahlen x und y gelten die Additionstheoreme:

Setzt man in den Additionstheoremen y = x, so ergeben sich die Doppelwinkelformeln, die beschreiben, wie der Sinus oder Kosinus des doppelten Winkels aufgelöst werden kann.

Satz 5.12 (Doppelwinkelformeln für Sinus und Kosinus)

Für jede beliebige reelle Zahl x gelten die Doppelwinkelformeln:

Die Schreibweise mit dem Quadrat direkt bei Sinus und Kosinus ist in der Mathematik üblich. Die Kurzschreibweise für sin2 x = (sin x)2 und cos2 x = (cos x)2 sollte man auf keinen Fall mit sin x2 = sin ‰x2Ž und cos x2 = cos ‰x2Ž verwechseln.

Wie schon beim Sinus und Kosinus stellt man bei Tangens und Kotangens eine Ähnlichkeit bei den Eigenschaften fest.

Häufig bezeichnet die unabhängige Variable der allgemeinen Kosinusfunktion der Zeit. Deshalb verwenden wir die Bezeichnung t mit der physikalischen Einheit Sekunde. Entsprechend besitzt die Kreisfrequenz ω die Einheit 1s . Dadurch ergibt das Produkt aus Zeit und Kreisfrequenz eine Größe, die wir als Wert im Bogenmaß interpretieren.

Der Verlauf einer allgemeinen Kosinusfunktion hängt von den Parametern A, ω und ϕ ab. Wir werden nun im Detail klären, welche Auswirkungen diese Parameter im Einzelnen haben. Die Amplitude A bewirkt lediglich eine Skalierung in Richtung der y-Achse. Sie hat keine Auswirkung auf die Periode der allgemeinen Kosinusfunktion. Wegen

f ‹t + 2 π • = A cos (ω t + 2 π + ϕ) = A cos (ω t + ϕ)

ω

ist T = 2ωπ die kleinste positive Periode, die man auch als Schwingungsdauer bezeichnet. Insbesondere der Begri Phasenverschiebung sorgt immer wieder für Verwirrung. Der Phasenwinkel ϕ bewirkt zwar eine Verschiebung des Schaubildes in Richtung der t-Achse, aber nicht um den Wert ϕ. Den tatsächlichen Wert t0 der Verschiebung des Schaubildes erhalten wir, wenn wir folgende beiden Darstellungen der allgemeinen Kosinusfunktion miteinander vergleichen:

A cos (ω t + ϕ) = A cos (ω (t − t0)) Ô ϕ = − ω t0 .

Es ergibt sich also eine Verschiebung um t0 = −ωϕ . Diese Verschiebung liefert beim Kosinus eine Stelle, an der ein Hochpunkt vorliegt. Alle weiteren Hochpunkte liegen im Abstand von jeweils einer ganzen Periode T . Die Tiefpunkte liegen jeweils um eine halbe Periode versetzt und wiederholen sich auch im Abstand T . Zwischen einem Hochund einem Tiefpunkt liegt jeweils eine Nullstelle. Nullstelle wiederholen sich im Abstand der halben Periode.

Eigenschaften der allgemeinen Kosinusfunktion