Beispiel 4.19 (Determinante und Vektorprodukt)

Das Vektorprodukt in Beispiel 3.13 wollen wir über eine Determinantendarstellung berechnen:

4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix

Determinanten sind grundsätzlich für beliebige quadratische Matrizen definiert. Allerdings ist die Berechnung für große Matrizen aufwendig. Die Berechnung der Determinante einer (n, n)-Matrix wird auf die Berechnung von Determinanten von (n−1, n−1)-Matrizen zurückgeführt. Mit diesem rekursiven Ansatz landet man dann Schritt für Schritt bei immer kleineren Matrizen. Schließlich berechnet man alle Determinanten von (2, 2)-Matrizen nach Definition 4.13.

Definition 4.15 (Determinante einer (n,n)-Matrix)

Die Determinante einer (n, n)-Matrix ist rekursiv definiert:

Bei der Berechnung einer Determinante hat man einen gewissen Spielraum. Oftmals ist es besser, die Berechnung nicht stur nach der Formel aus Definition 4.15 durchzuführen, sondern günstigere Zeilen und Spalten zum Entwickeln herauszugreifen, siehe Beispiel 4.20. Der sogenannte Entwicklungssatz geht auf den französischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange zurück. Der Satz garantiert, dass man bei der Berechnung einer Determinante nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln darf.

Satz 4.7 (Entwicklungssatz)

Die Determinante einer (n, n)-Matrix A lässt sich durch Entwickeln nach der i-ten Zeile berechnen:

SAS = (−1)i+1ai1 SAi1S + (−1)i+2ai2 SAi2S + . . . + (−1)i+nain SAinS .

Dabei bezeichnet Aij diejenige Matrix der Dimension (n−1, n−1), die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus der Matrix A entsteht. Entsprechend kann man eine Determinante auch durch Entwickeln nach einer beliebigen Spalte berechnen.

sung mit der Cramerschen Regel muss das lineare Gleichungssystem deshalb so viele Gleichungen wie Unbekannte besitzen. Selbst für diese Spezialfälle werden in der Praxis bei mehr als drei Gleichungen aus unterschiedlichen Gründen meistens andere Lösungsverfahren eingesetzt. Die wichtigsten Gründe, die gegen die Verwendung der Cramerschen Regel sprechen, sind die numerische Instabilität und ein hoher Rechenaufwand.

Satz 4.8 (Cramersche Regel für (n,n)-Matrizen)

Das lineare Gleichungssystem in Matrixform Ax = b hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der quadratischen Matrix A nicht null ist. Die Lösung kann man wie bei (2, 2)-Matrizen und (3, 3)-Matrizen mithilfe von Determinanten berechnen.

Die Cramersche Regel liefert ein Kriterium dafür, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Aus Kapitel 2 kennen wir bereits Situationen, in denen ein Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist. In allen diesen Fällen ist die Determinante null.

Determinante null

Die Determinante einer quadratischen Matrix ist null, falls

Ldie Matrix eine Zeile oder Spalte mit lauter Nullen besitzt oder

Lin der Matrix zwei Zeilen oder zwei Spalten gleich sind oder

Les in der Matrix eine Zeile bzw. Spalte gibt, die das Vielfache einer anderen Zeile bzw. Spalte ist.

Etwas allgemeiner kann man sogar ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür angeben, dass die Determinante einer Matrix null ist. Die Determinante ist genau dann null, wenn es eine Zeile gibt, die sich als Linearkombination aller anderen Zeilen darstellen lässt. Eine analoge Aussage gilt auch für die Spalten. Bei Determinanten kann man auf ein paar Rechenregeln zurückgreifen, die in manchen Fällen die Berechnung wesentlich vereinfachen. Wir verzichten auf einen Nachweis dieser Regeln und betrachten dafür ein paar charakteristische Beispiele.

Beispiel 4.21 (Rechenregeln für Determinanten)

a) Wir berechnen die Determinante durch Entwickeln nach der ersten Zeile:

transponierte Matrix hat dieselbe Determinante.