10.3.3 Gradient und Richtungsableitung

bestimmen. Wählt man als Richtungen den Einheitsvektor in Richtung der positiven x-Achse ex und den Einheitsvektor in Richtung der positiven y-Achse ey, so ergeben sich als Spezialfall die bekannten partiellen Ableitungen:

Wir bestimmen die Richtungsableitung in Richtung x = y, also für den Winkel α = π4 . Der nor-

Geometrisch hat der Gradient eine wichtige Bedeutung. Fasst man den Gradienten einer Funktion als Richtung auf, so zeigt der Gradient gerade in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion an dieser Stelle. Das heißt, die Richtungsableitung in Richtung des Gradienten f = (fx, fy) ist größer als alle anderen Richtungsableitungen.

Satz 10.2 (Geometrische Bedeutung des Gradienten)

Der Gradient einer Funktion f an der Stelle (x0, y0) zeigt, als Richtung interpretiert, in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion f an der Stelle (x0, y0).

Zum Nachweis von Satz 10.2 nehmen wir eine beliebige Richtung r = Œ rx ‘ und beginnen ry

trickreich mit der Gleichung

(fx ry − fy rx)2 ≥ 0 fx2 ry2 + fy2 rx2 ≥ 2 fx fy rx ry.

Diese Ungleichung können wir erweitern zu

fx2 rx2 + fx2 ry2 + fy2 rx2 + fy2 ry2 ≥ fx2 rx2 + 2 fx fy rx ry + fy2 ry2.

Hierbei interessant ist die Stelle (x0, y0) = (3, 4). Mithilfe des Di erenzials können wir die Abweichung f vom Wert f(3, 4) = 5 durch das Di erenzial df annähern: f ≈ df = fx dx + fy dy. Mit Zahlwerten bedeutet dies

Mithilfe des Di erenzials können einige Regeln der Di erenzialrechnung leicht hergeleitet werden. Besonders eindrucksvoll ist die Anwendung bei der sogenannten allgemeinen Kettenregel. Wir betrachten eine zusammengesetzte Funktion

g(t) = f (x(t), y(t)) .

Die beiden Funktionen x(t) und y(t) sind jeweils Funktionen von R nach R. Die Funktion f ist eine Funktion mit zwei Variablen und bildet von R2 nach R ab. Mithilfe des Di erenzials df = fx dx + fy dy folgt nach der Division durch dt

und daraus unmittelbar

g′(t) = fx (x(t), y(t)) x′(t) + fy (x(t), y(t)) y′(t).

Man kann diese Formel sogar sehr elegant mittels des Skalarprodukts zwischen den partiellen Ableitungen fx und fy und den inneren Ableitungen x′ und y′ schreiben:

g′(t) = (fx, fy) Œ xy′′ ‘ .

Wenn das keine schöne Anwendung des Skalarprodukts ist!

Satz 10.3 (Allgemeine Kettenregel)

Die verkettete Funktion g(t) = f (x(t), y(t)) mit der Variablen t hat die Ableitung

g′(t) = fx (x(t), y(t)) x′(t) + fy (x(t), y(t)) y′(t).

Betrachten wir nun eine Funktion y(x) in einer Variablen, allerdings in impliziter Form:

F (x, y(x)) = 0.

Ist die Ableitung y′(x) gesucht, so haben wir in Abschnitt 6.2.4 die Methode des impliziten Di erenzierens kennengelernt. Mit der allgemeinen Kettenregel können wir nun eine Formel dafür herleiten:

dF = Fx 1 + Fy y′. dx

Nun soll ja F konstant null sein, also ist auch die Ableitung dF überall null. Wir lösen dx

nach y′ auf und erhalten

y′(x) = −Fx(x, y(x)). Fy(x, y(x))

Implizite Di erenziation

Beim Ableiten einer impliziten Gleichung F (x, y) = 0 in den Variablen x und y nach x erhält man y′(x) mit der allgemeinen Kettenregel in der Form

y′(x) = −Fx(x, y(x)). Fy(x, y(x))