7.7 Aufgaben |
341 |
7.7 Aufgaben
Verständnisaufgaben
Aufgabe 7.1 |
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0 t e−x2 dx den Wert 1e ? Für |
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An welcher Stelle hat die Ableitung der Integralfunktion A t |
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welchen t-Wert gilt also A |
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t |
1e ? |
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( |
) = S |
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Aufgabe 7.2 |
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′( ) = |
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Gegeben ist die Funktion |
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( ) = œ |
1 |
für |
x |
2k, 2k |
+ |
1 |
) |
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= |
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± |
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± |
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f |
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für |
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[2 |
1 |
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k |
0, |
1, |
2, . . . , |
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x |
0 |
|
x |
|
k |
, 2k |
2 |
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die auf Intervallen der Länge [1 abwechselnd+ + ) |
die Werte 0 und 1 annimmt. Skizzieren Sie das |
||||||||||||||||
t
Schaubild von f(x) und den Verlauf der Integralfunktion A(t) = S f(x) dx.
0
Aufgabe 7.3
Bestimmen Sie die Stammfunktion F (x) von f(x) = e4x, die für x = 14 den Wert e hat.
Aufgabe 7.4
b √
Bestimmen Sie die obere Integrationsgrenze b so, dass gilt: S x dx = 1.
0
Aufgabe 7.5
1
Welchen Wert hat das bestimmte Integral S−1 tan (3x5 − x3 + 7x) dx?
Hinweis: Nachdenken spart hier unnötige Rechnungen!
Aufgabe 7.6
Falls f eine stetige Funktion auf dem Intervall [a, b] ist, so gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung mindestens eine Zwischenstelle u [a, b], für die gilt:
b
Sf(x) dx = f(u)(b − a).
a
Der Funktionswert f(u) an der Zwischenstelle u heißt Mittelwert der Funktion f im Intervall [a, b]. Bestimmen Sie eine Zwischenstelle u für die Funktion f(x) = cos (x)−2 im Intervall [0, π].
Rechenaufgaben
Aufgabe 7.7
Bestimmen Sie folgende Stammfunktionen. Kontrollieren Sie das Ergebnis durch Ableiten.
a) |
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1 |
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x |
x2 dx |
b) |
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sin |
( |
π x dx |
c) |
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1 |
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dx |
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x |
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2 x 1 |
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S |
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3+ |
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2 |
+ x |
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S |
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x |
)x |
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S |
1 |
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||
d) |
e |
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+ |
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d |
e) |
1 |
− |
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d |
f) |
|
− |
dx |
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x2 |
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S |
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S |
√ |
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S |
1 + 4 |
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7.7 Aufgaben |
343 |
Aufgabe 7.18
Das Schaubild der Funktion f(x) = ln (10 − x2) schneidet die positive x-Achse im Punkt S und schließt mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche A ein. Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt S? Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche A und wie groß ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation der Fläche A um die y-Achse entsteht?
Aufgabe 7.19
Das Schaubild der Funktion f(x) = x1 schließt für x ≥ 1 mit der x-Achse eine Fläche A ein. Wie groß ist der Flächeninhalt von A und welches Volumen hat der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche A um die x-Achse entsteht?
Aufgabe 7.20
Die beiden Kurven y2 = x und 3y2 = 4(x − 1) begrenzen ein Flächenstück A.
a)Skizzieren Sie die Kurven und berechnen Sie den Flächeninhalt von A.
b)Durch Rotation um die x-Achse bzw. y-Achse entstehen Drehkörper. Berechnen Sie deren Volumen Vx bzw. Vy.
c)Welche Koordinaten hat der Schwerpunkt S(xS S yS) der Fläche A?
Aufgabe 7.21
Die Funktion y = cos(ax), a > 0 begrenzt mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche A.
a)Berechnen Sie den Flächeninhalt von A.
b)Das Flächenstück A rotiert um die x-Achse bzw. y-Achse. Welches Volumen Vx bzw. Vy haben die Rotationskörper?
c)Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes S(xS S yS) der Fläche A.
Aufgabe 7.22
Die Kurven y = ex − 1, x = 1 und y = 0 begrenzen eine Fläche A in der x-y-Ebene.
a)Berechnen Sie den Flächeninhalt von A.
b)Welche Koordinaten hat der Schwerpunkt S(xS S yS) von A?
c)A erzeugt durch Rotation um die x-Achse bzw. y-Achse einen Körper. Berechnen Sie die Volumen Vx bzw. Vy dieser Körper.
Aufgabe 7.23
Die Ellipse x2 + y2 = 1 und die Parabel y = 1 −x2 begrenzen ein sichelförmiges Flächenstück A.
4
a)Skizzieren Sie das Flächenstück und berechnen Sie den Flächeninhalt von A.
b)Welche Koordinaten hat der Schwerpunkt S(xS S yS) der Fläche A?
c)Die Fläche A rotiert um die x-Achse. Welches Volumen Vx hat der erzeugte Rotationskörper?
Aufgabe 7.24
Ein Torus entsteht dadurch, dass man einen Basiskreis um eine Achse rotieren lässt. Wir wählen das Koordinatensystem so, dass der Mittelpunkt des Basiskreises die Koordinaten M(0 S a) hat und die Rotationsachse die x-Achse ist. Leiten Sie mithilfe der Integralformel für das Rotationsvolumen Vx eine möglichst einfache Formel für das Volumen eines Torus her. Sie brauchen dabei nur Basiskreise zu betrachten, deren Radius r kleiner als a ist.
