6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital

Die Regel von Bernoulli-de l’Hospital lässt sich nur auf bestimmte Typen von Grenzwerten anwenden. Es werden nur Grenzwerte in Form von Quotienten betrachtet, bei denen sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen null streben oder bei denen sowohl Zähler als auch Nenner gegen ±∞ streben.

Satz 6.11 (Regel von Bernoulli-de l’Hospital)

sofern der Grenzwert auf der rechten Seite als eigentlicher oder uneigentlicher Grenzwert existiert und die Funktionen f und g an der Stelle x0 di erenzierbar sind. Die Regel gilt auch für x → ±∞.

Dass die Regel von Bernoulli-de l’Hospital tatsächlich richtig ist, lässt sich plausibel erklären. Nähert man zwei Funktionen f(x) und g(x) mit f(x0) = 0 und g(x0) = 0 durch ihre Tangenten an der Stelle x0 an, dann gilt

Der Nachweis für den Fall, dass die Grenzwerte in Zähler und Nenner gegen ∞ gehen, lässt sich auf den Fall, dass beide Grenzwerte gegen null gehen, zurückführen. Auf weitere Details dazu verzichten wir jedoch hier.

In Beispiel 6.18 haben wir herausgefunden, dass sich sin x für kleine x Werte genau wie x verhält. Dieser Sachverhalt wird oft in der Physik verwendet.

Verhalten des Sinus für kleine Werte

Für kleine x-Werte verhält sich sin x wie x, mit anderen Worten:

lim sin x = 1.

x→0 x

Manchmal führt die Regel von Bernoulli-de l’Hospital nicht auf Anhieb zum Ziel. In vielen Fällen wird man aber durch Hartnäckigkeit belohnt, indem man die Regel einfach wiederholt anwendet. Trotzdem darf man nicht vergessen, dass die Regel von Bernoulli-de l’Hospital kein Allheilmittel ist. Es gibt durchaus Fälle, bei denen auch die mehrfache Anwendung der Regel nicht zum Erfolg führt.

Beispiel 6.19 (Regel von Bernoulli-de l’Hospital)

Bei dem Grenzwert lim x3 gehen sowohl Zähler als auch Nenner gegen ∞. Die gleiche Situation

x→∞ ex

Den Sachverhalt aus Beispiel 6.19 können wir auf den Zusammenhang zwischen dem asymptotischen Verhalten der e-Funktion und dem von Polynomen von beliebigem Grad verallgemeinern.

Asymptotisches Verhalten von e-Funktion und Potenzfunktionen

Für große x-Werte wächst die e-Funktion schneller als jede Potenzfunktion und somit auch schneller als jedes Polynom. Als Grenzwert formuliert:

Nach Satz 6.11 darf man die Regel von Bernoulli-de l’Hospital nur auf Quotienten anwenden, bei denen sowohl Zähler als auch Nenner gegen null streben oder bei denen sowohl Zähler als auch Nenner gegen ±∞ streben. Solche Grenzwerte bezeichnet man als

unbestimmte Ausdrücke vom Typ 0 oder ±∞. Bei anderen Typen von unbestimmten Aus-

0±∞

drücken lässt sich die Regel zwar nicht direkt, dafür aber nach geeigneten Umformungen, anwenden.

Einige Umformungen sind relativ trickreich und verwenden teilweise die e-Funktion oder die ln-Funktion. Wir verzichten auf eine systematische Übersicht und erläutern das Prinzip lediglich anhand einzelner Beispiele.

x2

existiert und somit ist lim (x ln x) = 0. Der Logarithmus ist jedoch nur für x > 0 definiert,

x→0

deshalb handelt es sich dabei nur um einen rechtsseitigen Grenzwert.

c) Der Grenzwert lim xx ist vom Typ 00. Durch Umformung erhalten wir

x→0