Definition 5.59 (Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus)

Der Sinus Hyperbolicus ist auf ganz R umkehrbar. Die Umkehrfunktion nennt man

Areasinus Hyperbolicus:

f(x) = sinh x f−1(x) = arsinh x.

Der Kosinus Hyperbolicus ist auf dem Intervall [0, ∞) umkehrbar. Die Umkehrfunktion nennt man Areakosinus Hyperbolicus:

f(x) = cosh x f−1(x) = arcosh x.

Der Tangens Hyperbolicus ist auf seinem gesamten Definitionsbereich umkehrbar. Ebenso ist der Kotangens Hyperbolicus auf seinem gesamten Definitionsbereich, also auf R {0} umkehrbar.

Definition 5.60 (Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus)

Der Tangens Hyperbolicus ist auf ganz R umkehrbar. Die Umkehrfunktion nennt man

Areatangens Hyperbolicus:

f(x) = tanh x f−1(x) = artanh x.

Der Kotangens Hyperbolicus ist auf R {0} umkehrbar. Die Umkehrfunktion nennt man Areakotangens Hyperbolicus:

f(x) = coth x f−1(x) = arcoth x.

5.8 Numerische Verfahren

Wir greifen zwei typische Problemstellungen für Funktionen auf, die Berechnung von Funktionswerten und die Bestimmung von Nullstellen. Für jede der beiden Problemstellungen gibt es unterschiedliche Lösungsansätz. Wir beschreiben jeweils nur ein Verfahren.

5.8.1 Berechnung von Funktionswerten

Bisher haben wir uns wenig Gedanken darüber gemacht, wie der Taschenrechner oder der Computer Werte des Sinus, Kosinus oder Tangens oder Werte der Exponentialfunktionen oder Logarithmen berechnet. Das hat auch seine guten Gründe. Hinter der Berechnung von Funktionswerten verbergen sich teilweise ausgetüftelte Methoden, die in der Mathematik über Jahrhunderte hinweg aufgestellt und verfeinert wurden. Ein typisches Beispiel ist das Heron-Verfahren.

Beispiel 5.79 (Heron-Verfahren)

Mit dem nach dem Mathematiker Heron benannten Verfahren lassen sich Näherungswerte für Wurzeln mithilfe der vier Grundrechenarten bestimmen. Die Methode ist auch unter dem Namen babylonisches Wurzelziehen bekannt. Sie basiert auf einer rekursiv definierten Folge. Die Iterationsvorschrift zur Bestimmung der n-ten Wurzel aus einer positiven Zahl a lautet

Je näher das erste Folgenglied bereits an dem gesuchten Wert liegt, um so schneller konvergiert

√

das Verfahren. Beispielsweise kann man zur Bestimmung eines Näherungswerts für a = 3 5 das erste Folgenglied x˜1 = 1 wählen. Die weiteren Folgenglieder sind dann

sichergestellt. Das Heron-Verfahren liefert eine Annäherung von Wurzeln durch Brüche. Brüche lassen sich allein mithilfe der vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division berechnen. Deshalb kann man das Heron-Verfahren zur Berechnung von Wurzeln mit dem Taschenrechner oder Computer verwenden. Ì

Neben Wurzeln benötigt man bei mathematischen Berechnungen häufig Werte trigonometrischer Funktionen oder Werte von Logarithmen. Diese Werte wurden in früheren Jahrhunderten in Form detaillierter Sinustafeln und Logarithmentafeln festgehalten. Die Funktionswertberechnungen bei Taschenrechnern und Computern basieren jedoch nicht auf einer Sammlung bereits berechneter Werte. Stattdessen kommen für jede Funktion passende Näherungsformeln zum Einsatz. Auch diese Näherungsformeln benötigen ausschließlich die vier Grundrechenarten. In Kapitel 8 werden wir Methoden vorstellen, mit denen man solche Näherungsformeln entwickeln kann.

5.8.2 Bisektionsverfahren

Wir berechnet man die Nullstellen einer Funktion, wenn diese keine einfache elementare Gestalt hat? Gibt es für Polynome bis zum Grad 4 noch explizite Formeln zur Bestimmung der Nullstellen, so ist dies bei Polynomen von höherem Grad nicht mehr der Fall. Auch Gleichungen, die etwa sowohl x als auch sin x enthalten, lassen sich in der Regel nicht mehr explizit nach x auflösen. Abgesehen vom heuristischen Raten von Nullstellen kennen wir bisher keine Möglichkeiten zur Bestimmung von Nullstellen.

Ist von einer stetigen Funktion f bekannt, dass sie an einer Stelle a negativ und an einer anderen Stelle b positiv ist, dann hat sie auf dem Intervall [a, b] mindestens einen Null-

durchgang, das garantiert der Zwischenwertsatz, siehe Satz 5.20. Eine solche Nullstelle kann man mithilfe der Bisektion bestimmen. Dabei betrachtet man den Intervallmittel-

punkt c = a + b und den Funktionswert f(c) an dieser Stelle. Ist f(c) positiv, so setzt

2

man c als neue obere Intervallgrenze b. Ist f(c) negativ, so setzt man c als neue untere Intervallgrenze a. Das neue Intervall [a, b] ist also halb so groß wie das ursprüngliche. Ist f(c) = 0, so hat man eine Nullstelle direkt gefunden. Den Prozess der Intervallhalbierung setzt man solange fort, bis man sich genau genug an die Nullstelle angenähert hat. Entsprechend verfährt man, wenn zu Beginn f(a) > 0 und f(b) < 0 ist.

Definition 5.61 (Bisektionsverfahren)

Mit dem Bisektionsverfahren kann man eine Nullstelle der stetigen Funktion f näherungsweise berechnen:

˜

(1) Finde ein Startintervall [a˜0, b0], in dem f einen Vorzeichenwechsel hat:

f stattfindet.

(3)Führe die Interation so lange durch, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Ein geeignetes Startintervall zu finden ist bei Problemstellungen aus der Praxis manchmal nicht einfach. Bei elementaren Funktionen findet man ein Startintervall typischerweise durch eine grobe Diskussion der Funktion f. Natürlich liefert das Verfahren um so schneller eine gute Näherung der Nullstelle, je kleiner das Startintervall ist.

Die Intervalle werden bei jedem Schritt halbiert. Dadurch ist sichergestellt, dass das Verfahren in jedem Fall gegen eine Nullstelle konvergiert. Der Preis für die garantierte Konvergenz ist die relativ langsame Geschwindigkeit, mit der sich die kleiner werdenden Intervalle um die Nullstelle herum legen.

Eigenschaften des Bisektionsverfahrens

Das Bisektionsverfahren hat folgende Eigenschaften:

LDas Verfahren konvergiert immer.

LIn jedem Schritt wird die Länge des Intervalls halbiert. Dieses relativ langsame Konvergenzverhalten bezeichnet man als lineare Konvergenz.

LHat die Funktion mehrere Nullstellen im Intervall, so findet das Verfahren nur eine davon.