- •1 Grundlagen
- •1.1 Logik und Mengen
- •1.1.1 Aussagenlogik
- •1.1.2 Mengen
- •1.2 Zahlen
- •1.2.1 Natürliche Zahlen
- •1.2.2 Ganze Zahlen
- •1.2.3 Rationale Zahlen
- •1.2.4 Reelle Zahlen
- •1.2.5 Ordnung
- •1.2.6 Intervalle
- •1.2.7 Betrag und Signum
- •1.2.8 Summe und Produkt
- •1.3 Potenz und Wurzel
- •1.3.1 Potenzen
- •1.3.2 Potenzgesetze
- •1.3.3 Wurzeln
- •1.3.4 Binomischer Satz
- •1.4 Trigonometrie
- •1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
- •1.5 Gleichungen und Ungleichungen
- •1.5.1 Lineare Gleichungen
- •1.5.2 Potenzgleichungen
- •1.5.3 Quadratische Gleichungen
- •1.5.4 Wurzelgleichungen
- •1.5.5 Ungleichungen
- •1.6 Beweise
- •1.6.1 Direkter Beweis
- •1.6.2 Indirekter Beweis
- •1.6.3 Konstruktiver Beweis
- •1.6.4 Vollständige Induktion
- •1.7 Aufgaben
- •2 Lineare Gleichungssysteme
- •2.1 Einführung
- •2.2 Gauß-Algorithmus
- •2.2.1 Äquivalenzumformungen
- •2.2.2 Vorwärtselimination
- •2.2.3 Rückwärtseinsetzen
- •2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
- •2.2.5 Rechenschema
- •2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
- •2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
- •2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
- •2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
- •2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
- •2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
- •2.4 Numerische Verfahren
- •2.4.1 Jakobi-Iteration
- •2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
- •2.5 Anwendungen
- •2.5.1 Produktion
- •2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
- •2.6 Aufgaben
- •3 Vektoren
- •3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
- •3.2.1 Addition und Subtraktion
- •3.2.2 Skalare Multiplikation
- •3.2.3 Skalarprodukt
- •3.2.4 Vektorprodukt
- •3.2.5 Spatprodukt
- •3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
- •3.3.1 Koordinatendarstellung
- •3.3.2 Addition und Subtraktion
- •3.3.3 Skalare Multiplikation
- •3.3.4 Skalarprodukt
- •3.3.5 Vektorprodukt
- •3.3.6 Spatprodukt
- •3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
- •3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
- •3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
- •3.4.5 Abstände
- •3.4.6 Winkel
- •3.5 Anwendungen
- •3.5.1 Kraft
- •3.5.2 Arbeit
- •3.5.3 Drehmoment
- •3.6 Aufgaben
- •4 Matrizen
- •4.2 Rechnen mit Matrizen
- •4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
- •4.2.2 Multiplikation von Matrizen
- •4.3 Determinanten
- •4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
- •4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
- •4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
- •4.4 Inverse Matrix
- •4.4.1 Invertierbare Matrizen
- •4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
- •4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
- •4.5 Lineare Abbildungen
- •4.5.1 Matrizen als Abbildungen
- •4.5.2 Kern, Bild und Rang
- •4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
- •4.7 Numerische Verfahren
- •4.7.1 Potenzmethode
- •4.8 Anwendungen
- •4.9 Aufgaben
- •5 Funktionen
- •5.1 Einführung
- •5.1.2 Wertetabelle
- •5.1.3 Schaubild
- •5.1.4 Explizite und implizite Darstellung
- •5.1.6 Funktionsschar
- •5.1.7 Verkettung von Funktionen
- •5.2 Polynome und rationale Funktionen
- •5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
- •5.2.2 Polynome
- •5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen
- •5.3 Eigenschaften
- •5.3.1 Symmetrie
- •5.3.2 Periode
- •5.3.3 Monotonie
- •5.3.4 Beschränktheit
- •5.4 Sinus, Kosinus und Tangens
- •5.4.2 Eigenschaften
- •5.5 Grenzwert und Stetigkeit
- •5.5.1 Zahlenfolgen
- •5.5.2 Grenzwert einer Funktion
- •5.5.3 Stetigkeit
- •5.5.4 Asymptotisches Verhalten
- •5.6.1 Exponentialfunktionen
- •5.6.2 Die e-Funktion
- •5.6.3 Hyperbelfunktionen
- •5.7 Umkehrfunktionen
- •5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion
- •5.7.2 Wurzelfunktionen
- •5.7.3 Arkusfunktionen
- •5.7.4 Logarithmusfunktionen
- •5.7.5 Area-Funktionen
- •5.8 Numerische Verfahren
- •5.8.1 Berechnung von Funktionswerten
- •5.8.2 Bisektionsverfahren
- •5.9 Anwendungen
- •5.9.1 Messwerte
- •5.9.2 Industrieroboter
- •5.10 Aufgaben
- •6.1 Steigung und Ableitungsfunktion
- •6.1.3 Ableitungsfunktion
- •6.1.5 Höhere Ableitungen
- •6.2 Ableitungstechnik
- •6.2.1 Ableitungsregeln
- •6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
- •6.2.5 Zusammenfassung
- •6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital
- •6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
- •6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
- •6.4.2 Monotonie
- •6.4.3 Krümmung
- •6.4.4 Lokale Extrema
- •6.4.5 Wendepunkte
- •6.4.6 Globale Extrema
- •6.5 Numerische Verfahren
- •6.5.2 Newton-Verfahren
- •6.5.3 Sekantenverfahren
- •6.6 Anwendungen
- •6.6.1 Fehlerrechnung
- •6.6.2 Extremwertaufgaben
- •6.7 Aufgaben
- •7 Integralrechnung
- •7.1 Flächenproblem
- •7.1.1 Integralsymbol
- •7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
- •7.1.3 Bestimmtes Integral
- •7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
- •7.2.1 Integralfunktion
- •7.2.2 Stammfunktion
- •7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
- •7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
- •7.3 Integrationstechnik
- •7.3.1 Integrationsregeln
- •7.3.2 Integration durch Substitution
- •7.3.3 Partielle Integration
- •7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
- •7.3.5 Uneigentliche Integrale
- •7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
- •7.4.1 Flächeninhalte
- •7.4.2 Bogenlänge
- •7.4.3 Rotationskörper
- •7.5 Numerische Verfahren
- •7.5.1 Trapezregel
- •7.5.2 Romberg-Verfahren
- •7.6 Anwendungen
- •7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
- •7.7 Aufgaben
- •8 Potenzreihen
- •8.1 Unendliche Reihen
- •8.2 Potenzreihen und Konvergenz
- •8.3 Taylor-Reihen
- •8.4 Eigenschaften
- •8.5 Numerische Verfahren
- •8.5.1 Berechnung von Funktionswerten
- •8.6 Anwendungen
- •8.6.1 Normalverteilung in der Statistik
- •8.7 Aufgaben
- •9 Kurven
- •9.1 Parameterdarstellung
- •9.2 Kegelschnitte
- •9.3 Tangente
- •9.4 Krümmung
- •9.5 Bogenlänge
- •9.6 Numerische Verfahren
- •9.6.1 Bézier-Kurve
- •9.7 Anwendungen
- •9.7.1 Mechanik
- •9.7.2 Straßenbau
- •9.8 Aufgaben
- •10 Funktionen mit mehreren Variablen
- •10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
- •10.2 Grenzwert und Stetigkeit
- •10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.2.2 Stetigkeit
- •10.3.3 Gradient und Richtungsableitung
- •10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
- •10.3.6 Extremwerte
- •10.4 Ausgleichsrechnung
- •10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- •10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
- •10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
- •10.5 Vektorwertige Funktionen
- •10.6 Numerische Verfahren
- •10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
- •10.6.2 Gradientenverfahren
- •10.7 Anwendungen
- •10.7.1 Fehlerrechnung
- •10.8 Aufgaben
- •11 Komplexe Zahlen und Funktionen
- •11.1.1 Komplexe Zahlen
- •11.1.2 Gaußsche Zahlenebene
- •11.1.3 Polarkoordinaten
- •11.1.4 Exponentialform
- •11.2 Rechenregeln
- •11.2.1 Gleichheit
- •11.2.2 Addition und Subtraktion
- •11.2.3 Multiplikation und Division
- •11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
- •11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
- •11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
- •11.3.1 Potenzen
- •11.3.2 Wurzeln
- •11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
- •11.4 Komplexe Funktionen
- •11.4.1 Ortskurven
- •11.4.2 Harmonische Schwingungen
- •11.4.3 Transformationen
- •11.5 Anwendungen
- •11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung
- •11.6 Aufgaben
- •12.1 Einführung
- •12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
- •12.2.1 Separation der Variablen
- •12.2.2 Lineare Substitution
- •12.3.3 Allgemeine Eigenschaften
- •12.4.1 Allgemeine Form
- •12.4.2 Freie Schwingung
- •12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
- •12.4.4 Frequenzgänge
- •12.5.1 Eliminationsverfahren
- •12.5.2 Zustandsvariablen
- •12.5.5 Stabilität
- •12.6 Numerische Verfahren
- •12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
- •12.7 Anwendungen
- •12.7.1 Temperaturverlauf
- •12.7.2 Radioaktiver Zerfall
- •12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
- •12.7.4 Feder-Masse-Schwinger
- •12.7.5 Pendel
- •12.7.6 Wechselstromkreise
- •12.8 Aufgaben
- •13 Fourier-Reihen
- •13.1 Fourier-Analyse
- •13.1.1 Periodische Funktionen
- •13.1.2 Trigonometrische Polynome
- •13.1.3 Fourier-Reihe
- •13.1.4 Satz von Fourier
- •13.1.5 Gibbssches Phänomen
- •13.2 Komplexe Darstellung
- •13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
- •13.2.3 Spektrum
- •13.2.4 Minimaleigenschaft
- •13.3 Eigenschaften
- •13.3.1 Symmetrie
- •13.3.2 Integrationsintervall
- •13.3.3 Mittelwert
- •13.3.4 Linearität
- •13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •13.3.6 Zeitverschiebung
- •13.4 Aufgaben
- •14 Verallgemeinerte Funktionen
- •14.1 Heaviside-Funktion
- •14.2 Dirac-Distribution
- •14.3 Verallgemeinerte Ableitung
- •14.4 Faltung
- •14.5 Aufgaben
- •15 Fourier-Transformation
- •15.1 Integraltransformation
- •15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
- •15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
- •15.2 Eigenschaften
- •15.2.1 Linearität
- •15.2.2 Zeitverschiebung
- •15.2.3 Amplitudenmodulation
- •15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •15.3 Inverse Fourier-Transformation
- •15.3.2 Vertauschungssatz
- •15.3.3 Linearität
- •15.4.3 Multiplikationssatz
- •15.4.5 Faltung
- •15.5 Periodische Funktionen
- •15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
- •15.5.3 Grenzwertbetrachtung
- •15.6 Anwendungen
- •15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
- •15.7 Aufgaben
- •16 Laplace-Transformation
- •16.1 Bildbereich
- •16.2 Eigenschaften
- •16.2.1 Linearität
- •16.2.2 Ähnlichkeit
- •16.2.3 Zeitverschiebung
- •16.2.4 Dämpfung
- •16.3.2 Integration
- •16.3.3 Faltung
- •16.3.4 Grenzwerte
- •16.4 Transformation periodischer Funktionen
- •16.5 Rücktransformation
- •16.7 Anwendungen
- •16.7.1 Regelungstechnik
- •16.8 Aufgaben
- •17 z-Transformation
- •17.1 Transformation diskreter Signale
- •17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
- •17.2 Eigenschaften
- •17.2.1 Linearität
- •17.2.2 Verschiebung
- •17.2.3 Dämpfung
- •17.4 Anwendungen
- •17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort
- •A Anhang
- •A.1 Ableitungsregeln
- •A.2 Ableitungen
- •A.3 Potenzreihen
- •A.4 Integralregeln
- •A.5 Integrale
- •A.6 Fourier-Reihen
- •A.7 Fourier-Transformationen
- •A.8 Laplace-Transformationen
- •A.9 Griechisches Alphabet
- •A.10 Bedeutende Mathematiker
- •Literaturverzeichnis
- •Sachwortverzeichnis
5.7 Umkehrfunktionen |
229 |
Beispiel 5.73 (Arkustangens)
Die Nullstellen der Funktion f(x) = sin2 x − 3 cos2 x lassen sich durch den Tangens ermitteln:
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x = 3 cos2 x Ô |
|
= 3 Ô tan2 x = 3 Ô |
tan x = ±√3. |
|
||||||||||
|
cos2 x |
|
|
|||||||||||
Alle Lösungen ergeben sich wegen der Periode π zu |
+ π k, k Z. |
Ì |
||||||||||||
x = arctan Š√3• + π k = 3 |
|
+ π k, |
x = arctan Š−√3• + π k = − 3 |
|||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
Schließlich fassen wir nun noch die Eigenschaften des Arkuskotangens zusammen. Er spielt in den Anwendungen eine weniger wichtige Rolle.
Eigenschaften des Arkuskotangens
LDefinitionsbereich: D = R
LWertebereich: W = (0, π)
LSymmetrie: zum Punkt ‰0, π2 Ž
LMonotonie: streng monoton fallend
|
|
y |
cot x |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
2 |
arccot x |
|
|
|
|
|
|
||
−π |
− |
π |
π |
π |
x |
2 |
2 |
|
|||
|
|
− π2 |
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
Beispiel 5.74 (Werte des Arkuskotangens)
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
a) |
Es ist arccot Š√3• = |
, denn cot ‹ |
• = |
√3. |
|
||||||
6 |
6 |
Ì |
|||||||||
b) |
Es ist arccot (−200) ≈ π, denn der Kotangens strebt gegen −∞ für x gegen π. |
||||||||||
Wir fassen nun die wichtigsten Werte der Arkusfunktionen in einer Tabelle zusammen.
Spezielle Werte der Arkusfunktionen
|
|
2 |
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
√ |
∞ |
|||||
x |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
x |
0 |
1 |
|
1 |
|
3 |
|
|||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
arcsin x |
0 |
π |
π |
|
π |
π |
|
arctan x |
0 |
π |
π |
|
|
|
π |
||||||
6 |
4 |
3 |
|
2 |
|
6 |
|
4 |
3 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
arccos x |
π |
π |
π |
|
π |
0 |
|
arccot x |
π |
π |
π |
π |
0 |
||||||||
|
2 |
3 |
4 |
6 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
6 |
|
|
||||||
5.7.4 Logarithmusfunktionen
Die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen werden als Logarithmusfunktionen bezeichnet. In ähnlicher Weise wie Wachstumsprozesse durch Exponentialfunktionen beschrieben werden, lassen sich unsere Sinneswahrnehmungen durch Logarithmusfunktio-
230 |
5 Funktionen |
nen beschreiben. Beispielsweise empfindet unser Auge ein objektiv doppelt so helles Licht subjektiv nicht als doppelt so hell. Ein ähnliches Phänomen zeigt sich auch bei der Wahrnehmung von Schall. Viele subjektive Sinneswahrnehmungen verlaufen nicht proportional zu den objektiven Größen, sondern entsprechend einer Logarithmusfunktion.
Die Exponentialfunktionen sind für a > 1 streng monoton wachsend und für 0 < a < 1 streng monoton fallend auf ganz R. Deshalb gibt es zu jeder Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion.
Definition 5.58 (Logarithmusfunktion)
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a bezeichnet man als Logarithmusfunktion zur Basis a:
f(x) = ax f−1(x) = loga x.
Die Logarithmusfunktion zur Basis e bezeichnet man als natürliche Logarithmusfunktion:
f(x) = ex f−1(x) = ln x.
Beispiel 5.75 (Werte des Logarithmus)
a)Für den Logarithmus zur Basis 10 gilt log10 100 = 2, denn 102 = 100.
b)Es ist log2 16 = 4, denn 24 = 16.
c)Es ist log10 0.1 = −1, denn 10−1 = 0.1.
d) Für den natürlichen Logarithmus gilt ln |
1 |
= −1, denn e−1 = |
1 |
. |
Ì |
e |
|
||||
|
|
e |
|
||
Aus der Sichtweise der Mathematik genügt es vollkommen, den natürlichen Logarithmus zu betrachten. Wir werden später sehen, dass sich der Logarithmus zu einer beliebigen Basis a durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken lässt.
Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion
LDefinitionsbereich: D = (0, ∞)
LWertebereich: W = R
LMonotonie: streng monoton wachsend
LAsymptoten: y-Achse für x → 0
LNullstelle: x = 1
|
|
y |
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−2 |
−1 |
1 |
2 |
x |
|
||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
Aus den Exponentialgesetzen in Abschnitt 5.6.1 kann man direkt Rechengesetze für die Logarithmen ableiten.
5.7 Umkehrfunktionen |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
231 |
||||||
Aus |
der |
bekannten Regel ex1 ex2 |
= |
ex1 |
+ |
x2 folgt mit den Substitutionen y |
1 |
= |
ex1 |
und |
||||||
e |
x2 |
die Gleichung |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
y1 y2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eln y1 ln y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Dabei haben=wir ln y1 |
|
x1 und ln y2 |
|
x2 verwendet. Nun wenden wir auf beiden Seiten |
||||||||||||
der Gleichung den |
natürlichen Logarithmus an und erhalten |
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln (y1 y2) = ln y1 + ln y2.
Auf dieselbe Art lassen sich auch die weiteren Rechenregeln für Logarithmen beweisen.
Rechenregeln für Logarithmusfunktionen
Logarithmen von Produkten kann man in Summen einzelner Logarithmen zerlegen:
L loga (x1 x2) = loga x1 + loga x2 |
L ln (x1 x2) = ln x1 + ln x2 |
Logarithmen von Quotienten kann man in Di erenzen einzelner Logarithmen zerlegen:
L |
loga ‹ |
x1 |
• = loga x1 |
− loga x2 |
L |
ln ‹ |
x1 |
• = ln x1 |
− ln x2 |
x2 |
x2 |
Logarithmen von Potenzen kann man in Produkte mit der Hochzahl zerlegen:
L loga ‰xbŽ = b loga x |
L ln ‰xbŽ = b ln x |
Beispiel 5.76 (Logarithmus)
a)Welche x-Werte erfüllen die Gleichung ex = 2? Die Lösungen dieser Gleichung bestimmen wir mit dem Logarithmus
ex = 2 Ô ln (ex) = ln 2 Ô x = ln 2.
b) Die Lösungen der Gleichungen ln ‰x2 − 1Ž = ln x + 1 ermitteln wir mit der e-Funktion
eln Šx2−1• = eln x+1 Ô x2 − 1 = eln x e1 Ô x2 − 1 = e x.
Die quadratische Gleichung x2 − e x − 1 = 0 hat die beiden Lösungen
√√
x1 = |
e + |
e2 |
+ |
4 |
= |
e |
− |
e2 |
+ |
4 |
|
2 |
, x2 |
|
2 |
. |
|
||||||
Allerdings liegt nur die erste Lösung x1 im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung. |
Ì |
||||||||||
Mithilfe von Funktion und Umkehrfunktion lässt sich die Exponentialfunktion mit Basis a trickreich umschreiben zu
ax = eln(ax) = ex ln a.
Somit ist eine Exponentialfunktion mit beliebiger Basis a durch die e-Funktion darstellbar. Dabei tritt ln a als Faktor im Exponenten auf.
232 |
5 Funktionen |
Zusammenhang von ax und ex
Eine Exponentialfunktion mit Basis a lässt sich als e-Funktion darstellen:
ax = ex ln a.
Beispiel 5.77 (Zusammenhang von 2x und ex)
Die Exponentialfunktion zur Basis 2 lässt sich als e-Funktion darstellen, denn es gilt
2x |
= |
e(ln 2) x |
≈ |
e0.6931 x. |
Ì |
|
|
|
|
Wenn wir auf die trickreiche Darstellung x = aloga x den natürlichen Logarithmus anwenden, ergibt sich
ln x = ln aloga x = (loga x) ln a.
Diese Gleichung lösen wir nach loga x auf:
loga x = ln x. ln a
Jede Logarithmusfunktion mit beliebiger Basis a lässt sich somit durch die natürliche Logarithmusfunktion darstellen. Wie bei der Exponentialfunktion tritt dabei ln a als Faktor auf.
Zusammenhang von loga x und ln x
Eine Logarithmusfunktion zur Basis a lässt sich als ln-Funktion darstellen:
loga x = ln x. ln a
Beispiel 5.78 (Zusammenhang von log10 x und ln x)
Der Logarithmus zur Basis 10 lässt sich als natürlicher Logarithmus darstellen, denn es gilt
ln x |
≈ 0.4343 ln x. |
Ì |
log10 x = ln 10 |
5.7.5 Area-Funktionen
Schließlich erwähnen wir noch die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Sie werden Areafunktionen genannt. Für jede der vier hyperbolischen Funktionen gibt es eine zugehörige Umkehrfunktion. Der Sinus Hyperbolicus ist auf seinem gesamten Definitionsbereich umkehrbar. Der Kosinus Hyperbolicus nimmt für x und −x denselben Wert an, ist also nur auf [0, ∞) umkehrbar.