Im Zusammenhang mit Polynomen fällt oft das Stichwort Horner-Schema. Das nach dem englischen Mathematiker William George Horner benannte Schema eignet sich insbesondere zur Berechnung von Funktionswerten von Polynomen und zur Polynomdivision durch Linearfaktoren. Die grundlegende Idee des Horner-Schemas besteht in einer geschickten Darstellung des Polynoms.

Horner-Schema

Beim Horner-Schema verwendet man für Polynome eine Darstellung der Form

a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn = (. . . (anx + an−1) x + . . .) x + a0.

Dadurch kann man Funktionswerte ohne die explizite Bestimmung der Potenzen x2, x3, . . ., xn berechnen.

Eine ausführliche Darstellung des Horner-Schemas mit weiteren Details findet man etwa bei [Schwarz].

Beispiel 5.30 (Horner-Schema)

Den Funktionswert des Polynoms

f(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6

an der Stelle x = 4 kann man mit dem Horner-Schema

f(x) = ( (x − 6)x + 11 )x − 6

5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen

In technischen Anwendungen spielen gebrochenrationale Funktionen eine wichtige Rolle. Beispielsweise sind Übertragungsfunktionen in der Regelungstechnik gebrochenrationale Funktionen. Auch die mathematische Beschreibung von Kurven und Flächen in CADSystemen erfolgt mithilfe gebrochenrationaler Funktionen.

Definition 5.15 (Gebrochenrationale Funktion)

Eine Funktion f, die sich als Quotient zweier Polynome, also in der Form

darstellen lässt, bezeichnet man als gebrochenrationale Funktion. Die Koe zienten a0, a1, a2, a3, . . ., an und b0, b1, b2, b3, . . ., bm sind dabei beliebige Zahlen, wobei allerdings die höchsten Koe zienten an und bm nicht null sein dürfen.

Gebrochenrationale Funktionen sind in der Regel nicht für alle reellen Zahlen definiert. Problematisch sind Stellen, an denen der Nenner null wird. Das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen in der Nähe solcher Definitionslücken untersuchen wir in Abschnitt 5.5.2 genauer. Gebrochenrationale Funktionen der speziellen Form

f(x) = ax + b cx + d

mit ad ≠ bc bezeichnet man auch als Hyperbeln.

Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen

Bei einer gebrochenrationalen Funktion sind die Nullstellen des Nenners Definitionslücken der Funktion.

Beispiel 5.31 (Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen)

a) Die gebrochenrationale Funktion

f(x) = x3 − 3x + 5 x − 2

ist für x = 2 nicht definiert. Der maximale Definitionsbereich ist somit D = R {2}.

b) Der Nenner der gebrochenrationalen Funktion

f(x) =

3x2 + 4x + 9

x2 + 5

Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind die Nullstellen des Polynoms im Zähler, falls sie nicht gleichzeitig auch Nullstellen des Nenners sind.

Beispiel 5.32 (Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen)

a) Der Zähler der gebrochenrationalen Funktion

f(x) = x2 − x x + 2

wird für x1 = 0 und x2 = 1 null. Die einzige Definitionslücke ist x = −2. Somit hat diese Funktion die beiden Nullstellen x1 = 0 und x2 = 1.

b)Bei der Funktion

x − 1

f(x) =

2 x2 − 6x + 4

wird für x = 1 der Zähler null. Allerdings ist x = 1 auch eine Nullstelle des Nenners. Somit ist x = 1 eine Definitionslücke und keine Nullstelle. Sowohl der Zähler als auch der Nenner enthalten den gemeinsamen Faktor (x − 1):

Gemeinsame Nullstellen von Zähler und Nenner

Wenn bei einer gebrochenrationalen Funktion x0 eine gemeinsame Nullstelle von Zähler und Nenner ist, dann lässt sich der Linearfaktor (x − x0) kürzen. Dabei kann eine Definitionslücke weggekürzt werden.

Das Kürzen eines gemeinsamen Linearfaktors von Zähler und Nenner ist also keine Äquivalenzumformung. Wie wir in Beispiel 5.32 gesehen haben, wird unter Umständen die Definitionslücke weggekürzt. Die Funktion, die nach dem Kürzen entsteht, hat somit möglicherweise einen anderen Definitionsbereich. Weitere Einzelheiten dazu betrachten wir in Abschnitt 5.5.3.

Beim Umgang mit rationalen Funktionen unterscheidet man zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen. Diese Unterscheidung bezieht sich auf den Grad des Zählerund des Nennerpolynoms.

Definition 5.16 (Echt und unecht gebrochenrationale Funktion)

Falls bei einer gebrochenrationalen Funktion der Grad des Zählerpolynoms größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist, nennt man die Funktion unecht gebrochenrational und sonst echt gebrochenrational.

Beispiel 5.33 (Echt und unecht gebrochenrationale Funktionen)

a) Die gebrochenrationale Funktion

f(x) = x3 − 3x + 5 x − 2

hat den Zählergrad 3 und den Nennergrad 1. Es handelt sich also um eine unecht gebrochenrationale Funktion.

b) Bei der gebrochenrationalen Funktion

f(x) = 3x2 + 4x + 9 x2 + 5

ist der Grad im Zähler gleich dem Grad im Nenner. Die Funktion ist somit unecht gebrochenrational.

c) Die Funktion

Auf unecht gebrochenrationale Funktionen können wir Polynomdivision anwenden. Dadurch entsteht ein Polynom und ein Divisionsrest. Entscheidend ist, dass der Divisionsrest eine echt gebrochenrationale Funktion ist. In Zukunft können wir uns also bei rationalen Funktionen immer auf echt rationale Funktionen beschränken.

Falls eine unecht rationale Funktion vorliegt, reduzieren wir diese Funktion durch Polynomdivision auf ein Polynom und eine echt rationale Funktion. Dieses wichtige Prinzip werden wir bei gebrochenrationalen Funktionen an verschiedenen Stellen wieder aufgreifen.

Unecht gebrochenrationale Funktion

Durch Polynomdivision kann man jede unecht gebrochenrationale Funktion zerlegen in eine Summe aus einem Polynom und einer echt gebrochenrationalen Funktion.

Beispiel 5.34 (Zerlegung unecht gebrochenrationaler Funktionen)

a) Durch Polynomdivision zerlegen wir die unecht gebrochenrationale Funktion

f(x) = x3 − 3x + 5 x − 2

in ein Polynom vom Grad 2 und eine echt gebrochenrationale Funktion

b) Die unecht gebrochenrationale Funktion

f(x) = 3x2 + 4x + 9 x2 + 5

zerlegen wir durch Polynomdivision in ein Polynom vom Grad 0, in diesem Fall also die Konstante 3, und eine echt gebrochenrationale Funktion

Ein fundamentales Prinzip der Mathematik besteht darin, komplizierte Problemstellungen in eine Reihe von einfacheren Problemstellungen zu zerlegen. Diese Vorgehensweise wendet man auch bei gebrochenrationalen Funktionen an.

Wie im letzten Abschnitt beschrieben, zerlegt man einen unecht gebrochenrationalen Ausdruck durch Polynomdivision in ein Polynom und einen echt gebrochenrationalen Ausdruck. Anschließend kann man einen echt gebrochenrationalen Ausdruck in eine Summe von sogenannten Partialbrüchen zerlegen.

Partialbrüche für Linearfaktoren

Jeder Nennernullstelle x0 einer echt gebrochenrationalen Funktion ordnet man einen Partialbruch zu. Die Form des Partialbruches hängt dabei wie folgt von der Vielfachheit der Nullstelle x0 ab:

Die Konstanten A1, A2, . . ., Ap bestimmt man durch Koe zientenvergleich.

Die Durchführung einer Partialbruchzerlegung erfolgt in mehreren Schritten, die wir uns zunächst an einem Beispiel klar machen.

Beispiel 5.35 (Partialbruchzerlegung bei einfachen Nullstellen)

Die Partialbruchzerlegung der echt gebrochenrationalen Funktion

(3)Die Konstanten A und B ermitteln wir so, dass die Summe der Partialbrüche mit der Funktion übereinstimmt

Dazu fassen wir die beiden Brüche auf der rechten Seite zu einem Bruch zusammen und multiplizieren die Klammern aus

Da der Nenner auf beiden Seiten gleich ist, müssen wir die Konstanten A und B im Zähler so ermitteln, dass auch dort Gleichheit für alle x-Werte herrscht, mit anderen Worten:

x − 1 = (A + B)x + 2A + 3B.

Durch Koe zientenvergleich erhalten wir ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für unsere gesuchten Größen A und B

2A + 3B = −1

A + B = 1

Das lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar mit A = 4 und B = −3. Somit erhalten wir das Ergebnis der Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung für Linearfaktoren

Eine echt gebrochenrationale Funktion, bei der sich der Nenner in Linearfaktoren zerlegen lässt, kann man auf folgende Weise in eine Summe von Partialbrüchen zerlegen:

(1)Bestimme alle Nullstellen des Nenners.

(2)Ordne jeder Nennernullstelle einen geeigneten Partialbruch zu.

(3)Bestimme die Konstanten in den Partialbrüchen so, dass die Summe der Partialbrüche mit der Funktion übereinstimmt.

Bevor man mit einer Partialbruchzerlegung startet, muss man überprüfen, ob es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion handelt. Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion ist zunächst eine Polynomdivision erforderlich.

Die Bestimmung der Nennernullstellen kann unter Umständen aufwendig sein. Bei Anwendungen in der Praxis ist man zur Berechnung der Nullstellen meistens auf numerische Näherungsverfahren angewiesen.

Zur Bestimmung der Konstanten gibt es verschiedene Methoden. Wir erläutern hier den direkten Koe zientenvergleich. Alternativ dazu gibt es noch die Möglichkeit, spezielle Werte in die Bestimmungsgleichungen einzusetzen oder die Koe zienten mit der sogenannten Grenzwertmethode zu bestimmen. Einzelheiten dazu findet man etwa in [Heuser:Analysis].

Beispiel 5.36 (Partialbruchzerlegung bei mehrfacher Nullstelle)

(3)Die Berechnung der gesuchten Konstanten A und B erfolgt durch Zusammenfassen der Partialbrüche und Vergleich der Koe zienten im Zähler

Das lineare Gleichungssystem A = 1 und 2 A + B = −1 ist aufgrund der gesta elten Form einfach zu lösen und besitzt die eindeutige Lösung A = 1 und B = −3. Die Partialbruchzerlegung der Funktion lautet

Bei den bisher betrachteten Beispielen war eine komplette Zerlegung des Nenners in Linearfaktoren möglich. Es gibt jedoch auch Fälle, bei denen ein quadratischer Faktor zu berücksichtigen ist. Auch quadratischen Faktoren im Nenner lassen sich Partialbrüche zuordnen. Allerdings besitzen diese Partialbrüche eine andere Bauart.

Partialbrüche für quadratische Faktoren

Jedem quadratischen Faktor x2 + bx + c im Nenner einer echt gebrochenrationalen Funktion ordnet man einen Partialbruch zu. Die Form des Partialbruches hängt dabei wie folgt von der Vielfachheit des Faktors x2 + bx + c ab:

Die Konstanten B1, B2, . . ., Bp und C1, C2, . . ., Cp bestimmt man durch Koe zientenvergleich.

Die Partialbrüche für lineare und für quadratische Faktoren zusammengenommen ergeben nun einen Ansatz, mit dem man beliebige echt gebrochenrationale Funktionen in Partialbrüche zerlegen kann.

Partialbruchzerlegung

Eine gebrochenrationale Funktion lässt sich auch dann in Partialbrüche zerlegen, wenn sich das Nennerpolynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt:

(1)Bestimme alle linearen und quadratischen Faktoren des Nenners.

(2)Ordne jedem Faktor einen geeigneten Partialbruch zu.

(3)Bestimme die Konstanten in den Partialbrüchen so, dass die Summe der Partialbrüche mit der Funktion übereinstimmt.