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4 Matrizen

Matrizen bilden die Grundlage für das Verständnis der linearen Algebra. Ursprünglich wurde der Begri Algebra für das Rechnen mit Zahlen und Variablen in Gleichungen verwendet. Heute ist die Algebra ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik, das sich ganz allgemein mit Eigenschaften von Strukturen und deren Relation zueinander beschäftigt. Der französische Mathematiker François Viète wird manchmal als Vater der Algebra bezeichnet. Die moderne Algebra wurde unter anderen maßgeblich von Évariste Galois, Marius Sophus Lie und Emmy Amalie Noether beeinflusst. Die lineare Algebra ist dabei ein besonders wichtiger Spezialfall. Einige Problemstellungen der linearen Algebra sind uns bereits in anderen Kapiteln begegnet. Die linearen Gleichungssysteme aus Kapitel 2, die Vektorrechnung und die analytische Geometrie aus Kapitel 3 sind Teilgebiete der linearen Algebra. In diesem Kapitel werden wir an einigen Stellen auf diese Teilgebiete zurückgreifen und Querbezüge zu Matrizen herstellen.

4.1 Der Begri einer Matrix

In Kapitel 2 haben wir gesehen, dass es zum systematischen Lösen von linearen Gleichungssystemen von Vorteil ist, ein Rechenschema zu verwenden. Ein Rechenschema stellt lineare Gleichungssysteme in komprimierter Form dar und enthält nur die zur Lösung des Problems notwendigen Informationen. Die Vorgehensweise, mehrere Zahlen in einer Tabelle zusammenzufassen, hat sich in der Mathematik auch an anderen Stellen bewährt. Eine tabellenförmige Zusammenfassung von Zahlen in Form von Zeilen und Spalten wird in der Mathematik als Matrix bezeichnet.

Definition 4.1 (Matrix)

Ein rechteckiges Zahlenschema aus m Zeilen und n Spalten

nennt man eine (m, n)-Matrix.

Bei Matrizen hat sich die Sprechweise „m-n-Matrix“ eingebürgert. Wir bezeichnen Matrizen durch fettgedruckte Großbuchstaben. Bei der Schreibweise A = (aij) nennt man den ersten Index i den Zeilenindex und den zweiten Index j den Spaltenindex. Die Zahl aij

bezeichnet das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix. Möchte man die Dimension der Matrix deutlich machen, benutzt man auch die Schreibweise Amn.

Matrizen sind das zentrale Werkzeug der linearen Algebra. In fast allen Bereichen, in denen Computer eingesetzt werden, kommen auch Matrizen zum Einsatz. Mit Computern ist man in der Lage, Matrizen mit Millionen von Zahlen zu bearbeiten. Die Elemente von Matrizen müssen allerdings nicht unbedingt reelle Zahlen sein. In der Graphentheorie beispielsweise werden Matrizen eingesetzt, deren Elemente nur die beiden Werte null oder eins haben. Man kann sogar Matrizen betrachten, deren Elemente Funktionen oder selbst wieder Matrizen sind. Wir beschränken uns in diesem Kapitel auf Matrizen, deren Elemente ausschließlich reelle Zahlen sind.

Quadratische Matrizen, also Matrizen bei denen die Anzahl der Zeilen mit der Anzahl der Spalten übereinstimmt, stellen einen wichtigen Spezialfall dar. Einige Begri e in der Matrizenrechnung wie etwa die Determinante und die inverse Matrix sind nur für quadratische Matrizen definiert. Beispiele für quadratische Matrizen sind Transformationsmatrizen in der Computergrafik oder bei sogenannten kinematischen Ketten.

Definition 4.2 (Quadratische Matrix)

Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist, nennt man eine quadratische Matrix.

Eine Matrix, die zwar aus mehreren Zeilen, aber nur aus einer Spalte besteht, erinnert an die Koordinatendarstellung eines Vektors. Tatsächlich lassen sich Vektoren, wie wir sie in Kapitel 3 definiert haben, als Spezialfälle von Matrizen interpretieren.

Definition 4.3 (Zeilenund Spaltenvektor)

Zeilenund Spaltenvektoren bezeichnen wir mit fettgedruckten Kleinbuchstaben. Dem aufmerksamen Leser wird sofort au allen, dass wir damit Zeilenund Spaltenvektoren formal nicht von Vektoren, wie wir sie in Kapitel 3 eingeführt haben, unterscheiden können. Das ist nicht weiter tragisch. Abgesehen vom Kreuzprodukt und Spatprodukt, die nur für Vektoren mit drei Koordinaten definiert sind, gelten für Vektoren im Grunde dieselben Rechenregeln wie für Matrizen. Spaltenvektoren erweitern den Begri des dreidimensionalen Vektors auf beliebig viele Koordinaten. Formal werden wir penibel an der Unterscheidung zwischen Zeilenund Spaltenvektoren festhalten. Spätestens bei der Definition des Produkts zweier Matrizen werden wir die Gründe dafür verstehen. Wenn wir Vektoren, wie in Kapitel 3 definiert, als Spezialfälle von Matrizen betrachten, dann interpretieren wir diese Vektoren stets als Spaltenvektoren und nicht als Zeilenvektoren. Ein weiterer Spezialfall sind Matrizen, die nur aus einer einzigen Zahl bestehen.

Skalar als Matrix

Eine (1, 1)-Matrix x ist eine Matrix mit einer einzigen Zeile und einer einzigen Spalte, also ein Skalar x = ( a11).

Auch wenn eine formale Definition überflüssig erscheint, legen wir den Begri einer Nullmatrix fest. Eine Nullmatrix ist für jede Dimension definiert. Die Anzahl der Zeilen und Spalten dürfen bei einer Nullmatrix unterschiedlich sein.

Definition 4.4 (Nullmatrix)

Eine Matrix, bei der alle Elemente den Wert null haben, bezeichnet man als Nullmatrix 0. Eine Nullmatrix muss nicht quadratisch sein.

Ein Matrizenelement aij bezeichnet man als Diagonalelement, falls der Zeilenindex i und der Spaltenindex j übereinstimmen. Eine (n, n)-Matrix hat also n Diagonalelemente a11, a22, a33, . . ., ann. Wenn bei einer Matrix bis auf die Diagonalelemente alle Elemente null sind, dann bezeichnet man sie als Diagonalmatrix.

Definition 4.5 (Diagonalmatrix und Einheitsmatrix)

Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Diagonalen null sind, nennt man eine Diagonalmatrix D. Eine Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente aus Einsen bestehen, nennt man eine Einheitsmatrix E:

Bei vielen Problemstellungen aus der Praxis kommen Matrizen mit speziellen Strukturen vor. Dabei ist in der Regel nur entscheidend, an welchen Stellen die Matrix von null

verschiedene Einträge besitzt. In Abschnitt 2.2 haben wir lineare Gleichungssysteme auf Zeilenstufenform gebracht. In der Matrixschreibweise entspricht dies einer oberen Dreiecksmatrix.

Definition 4.6 (Dreiecksmatrix)

Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente oberhalb der Diagonalen null sind, nennt man eine untere Dreiecksmatrix L. Entsprechend nennt man eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente unterhalb der Diagonalen null sind, eine obere Dreiecksmatrix R:

Matrizen, bei denen die meisten Elemente null sind, bezeichnet man als schwach oder dünn besetzt. Spezielle dünn besetzte Matrizen sind sogenannte Bandoder Tridiagonalmatrizen, siehe Beispiel 4.2. Für schwachbesetzte Matrizen existieren spezielle Verfahren, die durch Ausnutzung der besonderen Matrixstrukturen zu gewaltigen Rechenzeitverkürzungen bei Berechnungen mit dem Computer führen.

Beispiel 4.2 (Schwachbesetzte Matrix)

Bei der Matrix A sind alle Elemente, die einen Wert ungleich null haben, durch einen markiert:

in einem Band der Breite 3 entlang der Diagonalen. Man bezeichnet diese Matrix deshalb als Bandoder Tridiagonalmatrix. Ì

Es gibt Situationen, in denen bei einer Matrix die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht werden. Dieses Vertauschen erzeugt aus einer Matrix die sogenannte transponierte Matrix. Man kann sich dazu auch vorstellen, dass die transponierte Matrix aus der Ausgangsmatrix durch Spiegeln an der Diagonalen entsteht. Die Elemente der Diagonale bleiben beim Transponieren unverändert.