3.4 Punkte, Geraden und Ebenen

Mit der Vektorrechnung lassen sich weit mehr Probleme lösen, als wir bisher betrachtet haben. Beispielsweise kann man den Abstand, den ein Punkt von einer Ebene hat, oder den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen mithilfe von Vektoren berechnen. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Zusammenhang von Vektoren mit Punkten, Geraden und Ebenen. Wir verwenden die Vektorrechnung, um geometrische Probleme zu lösen. In der Mathematik bezeichnet man dieses Teilgebiet als analytische Geometrie. Oftmals fällt die Trennung zwischen Vektoren einerseits und Punkten, Geraden und Ebenen andererseits nicht leicht. Punkte haben eine feste Position im Raum, Vektoren sind jedoch frei verschiebbar. Vektoren besitzen eine endliche Länge, Geraden und Ebenen sind mathematische Gebilde, die in ihrer Ausdehnung unbeschränkt sind.

3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem

Die Grundlage für das Rechnen mit Punkten, Geraden und Ebenen bilden räumliche kartesische Koordinatensysteme, benannt nach dem Franzosen René Descartes.

Definition 3.17 (Kartesisches Koordinatensystem im Raum)

Der Zusammenhang von Punkten und Vektoren ergibt sich durch Ortsvektoren und Verbindungsvektoren.

Definition 3.18 (Ortsvektor und Verbindungsvektor)

Den Flächeninhalt des Dreiecks A erhalten wir aus dem Betrag des Vektors c:

a von P nach Q, den Verbindungsvektor b von P

Das Volumen des Tetraeders erhalten wir dann aus dem Spatprodukt dieser Vektoren:

3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen

Geraden und Ebenen besitzen zwei verschiedene Darstellungsformen: Eine Form mit und eine ohne Parameter. Jede der beiden Formen hat Vorund Nachteile. In diesem Abschnitt starten wir mit der Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen. Die Darstellung ohne Parameter sind Thema des nächsten Abschnitts.

Bei der Parameterdarstellung der Geraden g in Definition 3.19 ist die Gleichung so zu interpretieren, dass die Gerade g aus allen Punkten P mit Ortsvektor x besteht, bei der sich der Ortsvektor x in Form von x = x0 + λa darstellen lässt. Der Parameter λ wirkt als eine Art Schieberegler. Für λ = 0 erhalten wir den sogenannten Aufpunkt P0. Mit wachsenden λ-Werten erhalten wir Punkte, die von P0 aus in Richtung des Vektors a verlaufen. Negative λ-Werte erzeugen diejenigen Punkte, die in entgegengesetzter Richtung liegen. Der Parameter λ durchläuft alle reellen Zahlen. Dadurch werden alle Punkte auf der Geraden durch einen eindeutigen Parameterwert λ beschrieben. In ähnlicher Weise lässt sich eine Gerade auch durch zwei Punkte festlegen. Dabei übernimmt der Verbindungsvektor der beiden Punkte die Rolle des Richtungsvektors.

Zur Definition einer Ebene benötigt man zwei Richtungen, genauer gesagt, zwei linear unabhängige Vektoren. Jede Richtung wird unabhängig durch einen eigenen Parameter gesteuert.