Durch Skalarprodukte lassen sich Vektoren projizieren. Die senkrechte Projektion eines Vektors b in Richtung eines Vektors a ist durch zwei Eigenschaften festgelegt. Zum einen verläuft die Projektion in Richtung des Vektors a. Zum anderen hat die Projektion die Länge des Vektors b multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Es gilt also

Dabei haben wir den Einheitsvektor ea in Richtung des Vektors a verwendet.

Diese Projektion ist ein Vektor in Richtung des

Vektors a mit der Länge SbS cos (a, b).

Die senkrechte Projektion ba des Vektors b in Richtung des Vektors a bezeichnet man auch als Parallelkomponente von b in Richtung von a. Entsprechend bezeichnet b − ba die Normalkomponente. Auch an dieser Stelle soll nochmals der Hinweis erfolgen, dass durch Vektoren nicht dividiert werden kann. Insbesondere können die Vektoren a in der Formel in Definition 3.8 nicht gekürzt werden!

Beispiel 3.6 (Senkrechte Projektion in Richtung eines Vektors)

Der Vektor a besitzt die Länge 4 und der Vektor b die Länge 2. Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt 30○. Aus diesen Angaben können wir die senkrechte Projektion des Vektors b in Richtung des Vektors a berechnen:

√

3.2.4 Vektorprodukt

Wir gehen nun der Frage nach, wie man einen Vektor bestimmt, der auf zwei vorgegebenen Vektoren senkrecht steht. Dieses Problem wird durch das sogenannte Vektorprodukt gelöst. Wenn wir nur Vektoren betrachten, die alle in einer Ebene liegen, ergibt diese Fragestellung keinen Sinn. Wir betrachten in diesem Abschnitt deshalb nur Vektoren im dreidimensionalen Raum.

Definition 3.9 (Vektorprodukt, Kreuzprodukt)

Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt der beiden Vektoren a und b ist ein Vektor c = a × b mit folgenden Eigenschaften:

Für das Vektorprodukt verwendet man die Sprechweise „c gleich a kreuz b“. Im Gegensatz zum Skalarprodukt ergibt das Vektorprodukt aus zwei Vektoren keine Zahl, sondern einen Vektor. Die erste Bedingung in Definition 3.9 legt die Länge des Vektors c eindeutig fest. Aus der zweiten Bedingung ist die Richtung festgelegt, allerdings noch nicht eindeutig. Es bleiben zwei Alternativen: nach oben oder nach unten. In der Mathematik bezeichnet man diese beiden Alternativen als Rechtsoder Linkssystem. Eine eindeutige Festlegung erreicht man durch die Forderung nach einem Rechtssystem.

Der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms lässt sich aus der Länge der beiden Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel berechnen. Ein Parallelogramm hat denselben Flächeninhalt wie ein Rechteck mit entsprechender Höhe. Die Länge der Grundseite des Rechtecks ergibt sich aus dem Betrag des Vektors a. Die Höhe des Rechtecks h = SbS sin (a, b) ermitteln wir aus der Länge des Vektors b und dem Winkel zwischen a und b. Der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren a und b aufgespannten Dreiecks ist halb so groß wie die Fläche des entsprechenden Parallelogramms.

Der Vektor a besitzt die Länge 2 und der Vektor b die Länge 3. Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt 60○. Dann hat das Vektorprodukt die Länge

Wenn die beiden Vektoren a und b senkrecht aufeinander stehen, erhalten wir

Sa × bS = SaS SbS sin 90○ = SaS SbS.

Geometrisch ist in diesem Fall das Parallelogramm ein Rechteck, dessen Fläche man aus dem Produkt der Längen der beiden Seiten berechnet. Falls das Vektorprodukt der Vektoren a und b den Nullvektor ergibt, dann muss die Länge des Vektorproduktes null sein:

Sa × bS = SaS SbS sin (a, b) = 0.

Es gibt dafür drei mögliche Ursachen: Die Länge des Vektors a ist null, die Länge des Vektors b ist null oder der Sinus des Winkels ist null. Der Sinus wird bei den Winkeln 0○ und 180○ null, also genau dann, wenn die beiden Vektoren parallel oder antiparallel sind.

Vektorprodukt ergibt Nullvektor

Wenn das Vektorprodukt der beiden Vektoren a und b den Nullvektor ergibt, dann

Lsind die beiden Vektoren a und b parallel oder antiparallel oder

Leiner der beiden Vektoren a oder b ist der Nullvektor.

Es ist unbedingt zu beachten, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ ist. Beim Kreuzprodukt der beiden Vektoren a und b kommt es auf die Reihenfolge an. Wenn man die Reihenfolge der beiden Vektoren vertauscht, dann liefert das Kreuzprodukt einen Vektor, der in die entgegengesetzte Richtung zeigt: b × a = −(a × b). Das liegt daran, dass nun die Vektoren b, a und b × a in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.

Ziel ist nun, eine Formel für die Berechnung des Volumens des Spats, der aus den drei Vektoren a, b und c aufgespannt wird, herzuleiten. Der Flächeninhalt A der Grundfläche des Spats beträgt A = Sb × cS. Zur Berechnung des Volumens benötigen wir noch die Höhe h. Die Höhe h hängt von der Länge des Vektors a und dem Winkel α, den der Vektor a mit der zu b und c orthogonalen Richtung bildet, ab. Es ist also h = SaS cos α. Insgesamt erhalten wir somit für das gesuchte Volumen

V = Sb × cS SaS cos α = SaS Sb × cS cos α.

Da α der Winkel zwischen dem Vektor a und dem Vektor b × c ist, gilt außerdem

a (b × c) = SaS Sb × cS cos α.

Das Volumen lässt sich also als Skalarprodukt eines Kreuzproduktes berechnen.

Für Winkel α größer als 90○ wird der Kosinus negativ. Die drei Vektoren a, b und c spannen dann immer noch einen Spat auf. Allerdings bilden die drei Vektoren in diesem Fall ein Linkssystem. Ein Volumen ist aber immer eine positive Größe. Um alle Fälle abzudecken, braucht man in der Formel aus Satz 3.6 deshalb die Beträge.

Definition 3.11 (Spatprodukt)

Das Spatprodukt [a, b, c] von drei Vektoren a, b und c ist definiert durch

[ a, b, c] = a (b × c) .