- •1 Grundlagen
- •1.1 Logik und Mengen
- •1.1.1 Aussagenlogik
- •1.1.2 Mengen
- •1.2 Zahlen
- •1.2.1 Natürliche Zahlen
- •1.2.2 Ganze Zahlen
- •1.2.3 Rationale Zahlen
- •1.2.4 Reelle Zahlen
- •1.2.5 Ordnung
- •1.2.6 Intervalle
- •1.2.7 Betrag und Signum
- •1.2.8 Summe und Produkt
- •1.3 Potenz und Wurzel
- •1.3.1 Potenzen
- •1.3.2 Potenzgesetze
- •1.3.3 Wurzeln
- •1.3.4 Binomischer Satz
- •1.4 Trigonometrie
- •1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
- •1.5 Gleichungen und Ungleichungen
- •1.5.1 Lineare Gleichungen
- •1.5.2 Potenzgleichungen
- •1.5.3 Quadratische Gleichungen
- •1.5.4 Wurzelgleichungen
- •1.5.5 Ungleichungen
- •1.6 Beweise
- •1.6.1 Direkter Beweis
- •1.6.2 Indirekter Beweis
- •1.6.3 Konstruktiver Beweis
- •1.6.4 Vollständige Induktion
- •1.7 Aufgaben
- •2 Lineare Gleichungssysteme
- •2.1 Einführung
- •2.2 Gauß-Algorithmus
- •2.2.1 Äquivalenzumformungen
- •2.2.2 Vorwärtselimination
- •2.2.3 Rückwärtseinsetzen
- •2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren
- •2.2.5 Rechenschema
- •2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
- •2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
- •2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
- •2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen
- •2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
- •2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme
- •2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
- •2.4 Numerische Verfahren
- •2.4.1 Jakobi-Iteration
- •2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration
- •2.5 Anwendungen
- •2.5.1 Produktion
- •2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik
- •2.6 Aufgaben
- •3 Vektoren
- •3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
- •3.2.1 Addition und Subtraktion
- •3.2.2 Skalare Multiplikation
- •3.2.3 Skalarprodukt
- •3.2.4 Vektorprodukt
- •3.2.5 Spatprodukt
- •3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
- •3.3.1 Koordinatendarstellung
- •3.3.2 Addition und Subtraktion
- •3.3.3 Skalare Multiplikation
- •3.3.4 Skalarprodukt
- •3.3.5 Vektorprodukt
- •3.3.6 Spatprodukt
- •3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung
- •3.4 Punkte, Geraden und Ebenen
- •3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem
- •3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
- •3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen
- •3.4.5 Abstände
- •3.4.6 Winkel
- •3.5 Anwendungen
- •3.5.1 Kraft
- •3.5.2 Arbeit
- •3.5.3 Drehmoment
- •3.6 Aufgaben
- •4 Matrizen
- •4.2 Rechnen mit Matrizen
- •4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
- •4.2.2 Multiplikation von Matrizen
- •4.3 Determinanten
- •4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix
- •4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix
- •4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix
- •4.4 Inverse Matrix
- •4.4.1 Invertierbare Matrizen
- •4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix
- •4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
- •4.5 Lineare Abbildungen
- •4.5.1 Matrizen als Abbildungen
- •4.5.2 Kern, Bild und Rang
- •4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
- •4.7 Numerische Verfahren
- •4.7.1 Potenzmethode
- •4.8 Anwendungen
- •4.9 Aufgaben
- •5 Funktionen
- •5.1 Einführung
- •5.1.2 Wertetabelle
- •5.1.3 Schaubild
- •5.1.4 Explizite und implizite Darstellung
- •5.1.6 Funktionsschar
- •5.1.7 Verkettung von Funktionen
- •5.2 Polynome und rationale Funktionen
- •5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
- •5.2.2 Polynome
- •5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen
- •5.3 Eigenschaften
- •5.3.1 Symmetrie
- •5.3.2 Periode
- •5.3.3 Monotonie
- •5.3.4 Beschränktheit
- •5.4 Sinus, Kosinus und Tangens
- •5.4.2 Eigenschaften
- •5.5 Grenzwert und Stetigkeit
- •5.5.1 Zahlenfolgen
- •5.5.2 Grenzwert einer Funktion
- •5.5.3 Stetigkeit
- •5.5.4 Asymptotisches Verhalten
- •5.6.1 Exponentialfunktionen
- •5.6.2 Die e-Funktion
- •5.6.3 Hyperbelfunktionen
- •5.7 Umkehrfunktionen
- •5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion
- •5.7.2 Wurzelfunktionen
- •5.7.3 Arkusfunktionen
- •5.7.4 Logarithmusfunktionen
- •5.7.5 Area-Funktionen
- •5.8 Numerische Verfahren
- •5.8.1 Berechnung von Funktionswerten
- •5.8.2 Bisektionsverfahren
- •5.9 Anwendungen
- •5.9.1 Messwerte
- •5.9.2 Industrieroboter
- •5.10 Aufgaben
- •6.1 Steigung und Ableitungsfunktion
- •6.1.3 Ableitungsfunktion
- •6.1.5 Höhere Ableitungen
- •6.2 Ableitungstechnik
- •6.2.1 Ableitungsregeln
- •6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion
- •6.2.5 Zusammenfassung
- •6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital
- •6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
- •6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel
- •6.4.2 Monotonie
- •6.4.3 Krümmung
- •6.4.4 Lokale Extrema
- •6.4.5 Wendepunkte
- •6.4.6 Globale Extrema
- •6.5 Numerische Verfahren
- •6.5.2 Newton-Verfahren
- •6.5.3 Sekantenverfahren
- •6.6 Anwendungen
- •6.6.1 Fehlerrechnung
- •6.6.2 Extremwertaufgaben
- •6.7 Aufgaben
- •7 Integralrechnung
- •7.1 Flächenproblem
- •7.1.1 Integralsymbol
- •7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen
- •7.1.3 Bestimmtes Integral
- •7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
- •7.2.1 Integralfunktion
- •7.2.2 Stammfunktion
- •7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion
- •7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung
- •7.3 Integrationstechnik
- •7.3.1 Integrationsregeln
- •7.3.2 Integration durch Substitution
- •7.3.3 Partielle Integration
- •7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen
- •7.3.5 Uneigentliche Integrale
- •7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen
- •7.4.1 Flächeninhalte
- •7.4.2 Bogenlänge
- •7.4.3 Rotationskörper
- •7.5 Numerische Verfahren
- •7.5.1 Trapezregel
- •7.5.2 Romberg-Verfahren
- •7.6 Anwendungen
- •7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
- •7.7 Aufgaben
- •8 Potenzreihen
- •8.1 Unendliche Reihen
- •8.2 Potenzreihen und Konvergenz
- •8.3 Taylor-Reihen
- •8.4 Eigenschaften
- •8.5 Numerische Verfahren
- •8.5.1 Berechnung von Funktionswerten
- •8.6 Anwendungen
- •8.6.1 Normalverteilung in der Statistik
- •8.7 Aufgaben
- •9 Kurven
- •9.1 Parameterdarstellung
- •9.2 Kegelschnitte
- •9.3 Tangente
- •9.4 Krümmung
- •9.5 Bogenlänge
- •9.6 Numerische Verfahren
- •9.6.1 Bézier-Kurve
- •9.7 Anwendungen
- •9.7.1 Mechanik
- •9.7.2 Straßenbau
- •9.8 Aufgaben
- •10 Funktionen mit mehreren Variablen
- •10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien
- •10.2 Grenzwert und Stetigkeit
- •10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen
- •10.2.2 Stetigkeit
- •10.3.3 Gradient und Richtungsableitung
- •10.3.5 Höhere partielle Ableitungen
- •10.3.6 Extremwerte
- •10.4 Ausgleichsrechnung
- •10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
- •10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen
- •10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung
- •10.5 Vektorwertige Funktionen
- •10.6 Numerische Verfahren
- •10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren
- •10.6.2 Gradientenverfahren
- •10.7 Anwendungen
- •10.7.1 Fehlerrechnung
- •10.8 Aufgaben
- •11 Komplexe Zahlen und Funktionen
- •11.1.1 Komplexe Zahlen
- •11.1.2 Gaußsche Zahlenebene
- •11.1.3 Polarkoordinaten
- •11.1.4 Exponentialform
- •11.2 Rechenregeln
- •11.2.1 Gleichheit
- •11.2.2 Addition und Subtraktion
- •11.2.3 Multiplikation und Division
- •11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl
- •11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl
- •11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
- •11.3.1 Potenzen
- •11.3.2 Wurzeln
- •11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra
- •11.4 Komplexe Funktionen
- •11.4.1 Ortskurven
- •11.4.2 Harmonische Schwingungen
- •11.4.3 Transformationen
- •11.5 Anwendungen
- •11.5.1 Komplexe Wechselstromrechnung
- •11.6 Aufgaben
- •12.1 Einführung
- •12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie
- •12.2.1 Separation der Variablen
- •12.2.2 Lineare Substitution
- •12.3.3 Allgemeine Eigenschaften
- •12.4.1 Allgemeine Form
- •12.4.2 Freie Schwingung
- •12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung
- •12.4.4 Frequenzgänge
- •12.5.1 Eliminationsverfahren
- •12.5.2 Zustandsvariablen
- •12.5.5 Stabilität
- •12.6 Numerische Verfahren
- •12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler
- •12.7 Anwendungen
- •12.7.1 Temperaturverlauf
- •12.7.2 Radioaktiver Zerfall
- •12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand
- •12.7.4 Feder-Masse-Schwinger
- •12.7.5 Pendel
- •12.7.6 Wechselstromkreise
- •12.8 Aufgaben
- •13 Fourier-Reihen
- •13.1 Fourier-Analyse
- •13.1.1 Periodische Funktionen
- •13.1.2 Trigonometrische Polynome
- •13.1.3 Fourier-Reihe
- •13.1.4 Satz von Fourier
- •13.1.5 Gibbssches Phänomen
- •13.2 Komplexe Darstellung
- •13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe
- •13.2.3 Spektrum
- •13.2.4 Minimaleigenschaft
- •13.3 Eigenschaften
- •13.3.1 Symmetrie
- •13.3.2 Integrationsintervall
- •13.3.3 Mittelwert
- •13.3.4 Linearität
- •13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •13.3.6 Zeitverschiebung
- •13.4 Aufgaben
- •14 Verallgemeinerte Funktionen
- •14.1 Heaviside-Funktion
- •14.2 Dirac-Distribution
- •14.3 Verallgemeinerte Ableitung
- •14.4 Faltung
- •14.5 Aufgaben
- •15 Fourier-Transformation
- •15.1 Integraltransformation
- •15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
- •15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase
- •15.2 Eigenschaften
- •15.2.1 Linearität
- •15.2.2 Zeitverschiebung
- •15.2.3 Amplitudenmodulation
- •15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
- •15.3 Inverse Fourier-Transformation
- •15.3.2 Vertauschungssatz
- •15.3.3 Linearität
- •15.4.3 Multiplikationssatz
- •15.4.5 Faltung
- •15.5 Periodische Funktionen
- •15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
- •15.5.3 Grenzwertbetrachtung
- •15.6 Anwendungen
- •15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme
- •15.7 Aufgaben
- •16 Laplace-Transformation
- •16.1 Bildbereich
- •16.2 Eigenschaften
- •16.2.1 Linearität
- •16.2.2 Ähnlichkeit
- •16.2.3 Zeitverschiebung
- •16.2.4 Dämpfung
- •16.3.2 Integration
- •16.3.3 Faltung
- •16.3.4 Grenzwerte
- •16.4 Transformation periodischer Funktionen
- •16.5 Rücktransformation
- •16.7 Anwendungen
- •16.7.1 Regelungstechnik
- •16.8 Aufgaben
- •17 z-Transformation
- •17.1 Transformation diskreter Signale
- •17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
- •17.2 Eigenschaften
- •17.2.1 Linearität
- •17.2.2 Verschiebung
- •17.2.3 Dämpfung
- •17.4 Anwendungen
- •17.4.1 Zeitkomplexität von Quicksort
- •A Anhang
- •A.1 Ableitungsregeln
- •A.2 Ableitungen
- •A.3 Potenzreihen
- •A.4 Integralregeln
- •A.5 Integrale
- •A.6 Fourier-Reihen
- •A.7 Fourier-Transformationen
- •A.8 Laplace-Transformationen
- •A.9 Griechisches Alphabet
- •A.10 Bedeutende Mathematiker
- •Literaturverzeichnis
- •Sachwortverzeichnis
552 |
13 Fourier-Reihen |
13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr
Ersetzt man bei einer Funktion die unabhängige Variable t durch a t, so spricht man von Ähnlichkeit. Für den Parameter a sind alle reellen Werte außer null zugelassen. Wir wollen nun klären, wie sich eine Ähnlichkeit auf die Fourier-Reihe auswirkt. Wenn die Funktion f mit Periode T die Fourier-Reihe
f |
t |
) = |
a0 |
∞ |
ak cos |
( |
k ω t |
bk sin |
( |
k ω t |
)) |
, |
ω |
= |
2 π |
|
2 |
T |
|||||||||||||||
|
( |
+ kQ1 ( |
|
) + |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
besitzt, dann erhalten wir die Fourier-Reihe der Funktion f˜ zu
f˜(t) = f(a t) = a0 +
2
∞
Q(ak cos (k ω a t) + bk sin (k ω a t)). k=1 ° °
ω˜ ω˜
Sofern der Parameter a positiv ist, hat sich also lediglich die Kreisfrequenz geändert. Die Fourier-Koe zienten bleiben unverändert.
Ähnlichkeit
Wenn die Funktion f die Periode T und die Kreisfrequenz ω besitzt, dann ist die
|
|
|
˜ |
f a t |
für a |
|
˜ |
|
T |
Funktion f t |
|
0 periodisch mit der Periode T |
|
a und der Kreisfre- |
|||||
quenz |
ω˜ |
|
a ω |
Beide Funktionen haben dieselben Fourier-Koe zienten. Die Fourier- |
|||||
|
|
( ).= ( ) |
|
> |
|
= |
|
||
Reihen |
der beiden Funktionen unterscheiden sich lediglich in den Perioden und den |
||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
Kreisfrequenzen.
Beispiel 13.14 (Ähnlichkeit)
Die Rechteckfunktion aus Beispiel 13.12 hat die Fou- rier-Reihe mit Kreisfrequenz ω = 2 π
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
f(t) = |
|
+ |
|
‹sin (π t) + |
|
sin (3 |
π t) + . . .• . |
2 |
π |
3 |
|||||
Die Ähnlichkeit mit dem Faktor a = 12 ergibt die Fou- rier-Reihe mit Kreisfrequenz ω˜ = π2
|
1 |
|
2 |
|
π |
1 |
|
3 π |
|
||
f˜(t) = |
|
+ |
|
|
‹sin ‹ |
|
t•+ |
|
sin ‹ |
|
t•+. . .• . |
2 |
π |
2 |
3 |
2 |
|||||||
|
|
1 |
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
t |
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
1 |
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
t |
Ì
Wir haben gesehen, dass positive Werte von a bei der Ähnlichkeit zwischen f(t) und f(a t) keine Auswirkung auf die Fourier-Koe zienten haben. Es genügt also, noch den Fall a = −1 zu betrachten. In diesem Fall spricht man von einer Zeitumkehr. Für die Fourier-Reihe ergibt sich
f˜ t |
) = |
f |
t |
) = |
a0 |
∞ |
ak cos |
( |
k ω t |
bk sin |
( |
k ω t . |
||
|
2 |
|||||||||||||
( |
|
(− |
+ kQ1 ( |
|
) − |
|
)) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
Lediglich das Vorzeichen der Sinusanteile ändert sich. Die Amplituden bleiben also gleich, und bei den Phasenwinkeln ändert sich das Vorzeichen.
13.3 Eigenschaften |
553 |
Zeitumkehr
Wenn die Funktion f die Periode T und die Kreisfrequenz ω besitzt, dann ist die Funktion f˜(t) = f(−t) periodisch mit derselben Periode T und derselben Kreisfrequenz ω. Zwischen den Fourier-Koe zienten der beiden Funktionen besteht der Zusammenhang
˜ |
|
|
˜ |
|
|||
a˜k = ak, bk = −bk, c˜k = ck, |
Ak = Ak, ϕ˜k = −ϕk. |
||
Beispiel 13.15 (Zeitumkehr)
Die Funktion aus Beispiel 13.8 hat die Fourier-Reihe
|
π |
|
2 |
|
1 |
||
f1(t) = |
|
− |
|
|
‹cos t + |
|
cos 3 t + . . .• |
4 |
π |
9 |
|||||
+ sin t − 1 sin 2 t + 1 sin 3 t . . .
23
Eine Zeitumkehr und eine Skalierung mit dem Faktor C = −1 ergibt für die Funktion f2(t) = −f1(−t) die Darstellung
|
π |
|
2 |
|
1 |
||
f2(t) = − |
|
+ |
|
|
‹cos (−t)+ |
|
cos (−3 t)+. . .• |
4 |
π |
9 |
|||||
− sin (−t) + 1 sin (−2 t) . . .
2
Durch Überlagerung erhalten wir die Fourier-Reihe
π |
f1(t) |
−2π −π |
π 2π 3π 4π t |
−2π −π |
π 2π 3π 4π t |
f2(t) −π |
|
π |
f3(t) |
|
−2π −π |
|
π 2π 3π 4π t |
−π |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||
f3(t) = f1(t) + f2(t) = 2 ‹sin t − |
|
sin 2 t + |
|
|
sin 3 t − |
|
sin 4 t + |
|
sin 5 t . . .• . |
Ì |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||||||
13.3.6 Zeitverschiebung
Verschiebungen in der Zeit verändern die Sinusund Kosinusanteile einer Schwingung. Die Amplituden bleiben aber unverändert. Deshalb betrachten wir bei einer Zeitverschiebung der Funktion f mit Periode T die Fourier-Reihe am besten in der Darstellung
f |
t |
) = |
a0 |
|
∞ |
Ak cos |
( |
k ω t |
+ |
ϕk |
) |
, |
ω |
= |
|
2 π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
( |
+ kQ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Eine Verschiebung |
= |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
verschobene Funktion f˜ t |
) = |
f |
( |
t |
− |
t |
0) |
: |
|||||||||||||||
|
|
|
a0 |
|
der Zeit um |
|
0 |
ergibt für die |
|
|
|
a0 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f˜ t |
) = |
|
|
∞ |
Ak cos |
( |
k ω |
( |
t |
− |
t0 |
) + |
ϕk |
) = |
|
|
|
|
∞ Ak cos |
( |
k ω t |
− |
k ω t0 ϕk |
) |
. |
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
+ kQ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ kQ1 |
|
|
ϕ˜k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ |
|
|
|
|
||||||
554 13 Fourier-Reihen
Zeitverschiebung
Wenn die Fourier-Reihe der Funktion f mit Periode T die Amplituden Ak und Phasenwinkel ϕk besitzt, dann besitzt die Fourier-Reihe der um t0 in der Zeit verscho-
|
|
˜ |
t |
|
f |
|
t |
|
t |
|
˜ |
A |
|
und die Phasenwinkel |
||
benen Funktion f |
|
) = |
( |
− |
0) |
dieselben Amplituden A |
k = |
k |
||||||||
ϕ˜k |
= − |
k ω t0 ϕk. |
( |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Verschiebungen um eine halbe oder viertel Periode lassen sich besonders elegant durchführen. In diesen Spezialfällen kann man die Berechnung auch mit den Kosinusanteilen ak und den Sinusanteilen bk durchführen, siehe Beispiel 13.16.
Beispiel 13.16 (Zeitverschiebung)
Die Dreieckfunktion aus Beispiel 13.6 hat die FourierReihe
f(t) = |
π |
− |
4 |
‹cos t + |
1 |
cos 3 t + . . .• . |
2 |
π |
9 |
Das Schaubild der Funktion f˜ entsteht aus dem Schaubild der Funktion f durch eine Verschiebung in der Zeit und durch eine Verschiebung nach oben:
f˜(t) = f ‹t + π • − π .
22
|
f (t) |
|
π |
−2π −π |
π 2π 3π 4π t |
|
|
˜ |
|
π |
f (t) |
|
|
|
|
2 |
|
−2π −π |
|
π 2π 3π 4π t |
Die Funktion f˜ hat die Fourier-Reihe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
π |
|
1 |
π |
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
|
||||||
f˜(t) = − |
|
‹cos ‹t + |
|
• + |
|
|
cos 3 ‹t + |
|
|
|
• + |
|
|
cos 5 |
‹t + |
|
|
• + |
|
|
cos 7 ‹t + |
|
•+. . .• |
|||||||
π |
2 |
9 |
2 |
25 |
2 |
49 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
π |
|
1 |
3 π |
|
|
1 |
|
|
|
5 π |
|
|
1 |
|
|
7 π |
|
||||||||||
= − |
|
‹cos ‹t + |
|
• + |
|
|
cos ‹3t + |
|
|
• + |
|
|
cos |
‹5t + |
|
|
• + |
|
|
cos ‹7t + |
|
|
•+. . .• . |
|||||||
π |
2 |
9 |
2 |
|
25 |
|
2 |
49 |
2 |
|||||||||||||||||||||
Mithilfe der Additionstheoreme in Satz 5.11 kann man die Verschiebungen der Kosinusfunktionen durch Sinusfunktionen ausdrücken:
f˜ t |
|
4 |
|
sin t |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
. . . |
|
. |
Ì |
|||||
|
π |
|
|
9 sin 3 t |
|
25 sin 5 t |
|
49 sin 7 t |
|
|
|||||||||
( |
) = |
|
|
‹ |
|
− |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
± |
|
• |
|
|