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Вуз:
Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
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Koch_Mathematik fur das Ingenieurstudium.pdf
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21.02.2016
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c) Berechnen Sie Realund Imaginärteil von z1 z2,

11.6 Aufgaben

453

11.6 Aufgaben

Verständnisaufgaben

Aufgabe 11.1 √

Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 1 + i und z2 = − 3 + i.

a)Skizzieren Sie z1 und z2 in der Gaußschen Ebene.

b)Bestimmen Sie z1 + z2, z1 − z2, z1 und z2 grafisch und rechnerisch.

z1 und z2 . z2 z1

d)Bestimmen Sie arg(z1), arg(z2), Sz1S, Sz2S und stellen Sie z1 und z2 in Exponentialform dar.

e)Stellen Sie z12, z13, z14, z22, z23 und z24 in Exponentialform und kartesischer Form dar.

f)Für welche natürlichen Zahlen n und m sind z1n und z2m reelle Zahlen?

Aufgabe 11.2

Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen z1, z2

a) z = −1 − i b) z = −3

und z3 in Exponentialform dar: c) z = 2 i

Aufgabe 11.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

+

 

 

 

 

 

Wie viele Lösungen besitzt die Gleichung z3

0.815

0.4711 i und in welchen Quadranten der

komplexen Ebene liegen sie?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 11.4

(

 

) =

 

+

 

+

a2 z2

+

z3

 

 

−

 

±

 

Wie lautet das Polynom p

z

a0

a1 z

mit den Nullstellen 1 und

2

i?

Aufgabe 11.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skizzieren Sie folgende Mengen der komplexen Zahlen z in der Gaußschen Zahlenebene:

a) Sz − 1 − iS < Sz + 1 + iS

 

 

 

b) Sz − iS + Sz + iS ≤ 4

 

c) Sz + 1S = SRe(z)S

 

 

 

Rechenaufgaben

Aufgabe 11.6

Welche Darstellung in kartesischer Form und in Exponentialform besitzen folgende Zahlen?

 

 

 

1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i

π

 

 

 

1

i

1

3 i

a) z

=

 

1 + i

 

b) z

=

 

 

2 e

 

4

 

c) z

=

 

1

 

−2 i

 

 

1 +

2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

i

 

2 i

 

 

z

 

 

i

5 π

 

z

 

e

 

i

π

 

 

 

z

 

 

 

i π

−

 

d)

 

 

−

6

e)

(5

 

 

2

 

 

f)

 

 

 

+

 

 

−

 

 

=

3 e

 

 

 

 

+ )( + )

 

=

7 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 11.7

Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in kartesischer Form und in Exponentialform dar:

a) z

 

3

54 i

10

b) z

 

i

 

1

1

i

6

c) z

 

1

i e−i π6

9

 

= ‹

 

+

 

•

 

= ‹

 

+

 

 

 

 

•

 

= Š(

 

+ )

•

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

454

11 Komplexe Zahlen und Funktionen

Aufgabe 11.8

 

 

 

 

1

+

3 i

2

 

 

 

 

 

Bestimmen Sie die reellen Werte A und ϕ aus der Gleichung 4 ei ϕ

=

A

‹

1

2 i

•

.

Aufgabe 11.9

 

 

 

−

 

 

Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichungen und skizzieren Sie die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene:

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1

 

2ei π2

 

 

 

 

 

 

 

√3 − i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) z

 

=

 

 

 

b) z

 

+

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

c) z

 

 

=

2

+ e−i π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 11.10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

) =

 

 

−

 

 

 

 

−

 

+

+

 

 

 

−

 

 

 

Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen des Polynoms p

z

z4

2 z3

2 z2

8 z

8.

 

 

Aufgabe 11.11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Stellen Sie die harmonischen Schwingungen mit Kosinus als Grundfunktion dar:

 

 

 

a) z

 

t

 

cos 2 t

sin 2 t

 

 

 

 

 

 

 

b) z

t

 

 

3 cos t

 

 

4 sin t

 

 

 

 

 

 

 

5 π

 

c) z

 

t

 

2 cos

t

π

cos

t

 

 

 

 

 

d) z

t

 

 

cos

 

π t

 

 

π

 

 

2 sin

 

π t

 

 

 

 

2

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

6

 

( ) =

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

 

 

‰

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

‰

 

 

− Ž

 

( ) =

 

 

 

‰ − Ž − ‰ Ž

 

 

 

 

 

 

( ) =

 

 

 

 

+ Ž −

 

 

 

 

 

Aufgabe 11.12

Um welche Art von Kurven handelt es sich bei den folgenden Ortskurven? Skizzieren Sie den Verlauf der Ortskurven in der komplexen Ebene.

a) z

t

t

i t 3

b) z

t

2 i 3 cos t

 

3 i sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

i t

 

 

 

 

 

 

c) z

(t) =

 

i+ (

− )

d) z

(t) =

− +

+

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

2

+ i t

 

( ) = 2

−

i t

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 11.13−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Auf was wird der Einheitskreis in der komplexen Ebene durch die Transformation f

 

z

(

) = z − 1

abgebildet?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 11.14

Skizzieren Sie den Polygonzug in der Gaußschen Ebene, der die sechs komplexen Zahlen 0, 2,

2

+

2 i, 1

+

3 i, 2 i,

0

in

dieser Reihenfolge verbindet. Welche Figur entsteht, wenn man alle

 

 

 

−

2

 

 

 

 

+

2

 

 

 

sechs Zahlen mit

1

 

2

1

 

2i multipliziert und das Ergebnis wieder in derselben Reihenfolge

verbindet?

 

 

√

 

√

Aufgabe 11.15

Wir betrachten einen Widerstand mit Impedanz ZR, einen Kondensator mit Impedanz ZC und

eine Spule mit Impedanz ZL. Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag von Z

(

ω

)

mit

 

ZC ZL

 

 

1

 

 

 

Z(ω) = ZR +

 

, ZR = R, ZC =

 

, ZL = i ω L

 

 

 

 

ZC ZL

i ω C

 

 

 

 

und skizzieren Sie die Ortskurve von Z ω

 

in der komplexen Zahlenebene.

 

 

 

 

 

+

(

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
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