Література

1. Уравнения с частными производными параболического типа / А.Фридман. – М.: Мир, 1968. – 428 с.

2. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, А.С.Самарский. – М.: Наука, 1972. – 735 с.

3. Об одном методе решения задачи Стефана / В.А.Фомин // Исследовано в России. – 2006. – №49. – С. 488-493.

Захарченко Оксана

асистент кафедри економічної кібернетики

Криворізького факультету ЗНУ

Оптимальні задачі нескінченого числа змінних

Нескінченно мірний аналіз розглядає функції від нескінченної кількості змінних, а точніше функціонали на нескінченно мірних просторах.

Функціонали в математиці найчастіше називають функцію від функції.

Розглянемо сукупність (простір) усіх неперервних функцій на відрізку [a,b] числової прямої. Її позначають С([a, b]). Нехай ці неперервні функції тепер грають роль аргументу. За своїм змістом поняття “функція” – деяке правило, яке за неперервною функцією у(х), яка задана на [a, b], дає можливість визначити число F(y).

Наприклад, . Цей функціонал виражає площу під графіком у(х), де у(х) є довільна функція, тобто і т.д. і т.п.

Наведемо приклад ще одного важливого нескінченно мірного простору, з яким на протязі двох століть загалом оперувало варіаційне числення. Це простір С ([a, b]) безперервно диференційованих функцій у(х), тобто таких функцій, які самі неперервні і їх похідні також неперервні на відрізку [a, b].

Для того щоб точно сформулювати екстремальну задачу, необхідно написати мінімізуючу або максимізуючу функцію і обмеження. У нескінченно мірному випадку все залишається без змін. Тут також необхідно описати мінімізуючий або максимізуючий функціонал (а отже і простір, на якому він є визначеним) і обмеження.

Отже, варіаційне числення саме і є тим розділом теорії екстремальних задач, де вивчають максимум і мінімум функціоналів при різного роду обмеженнях.

Нехай нам задана деяка неперервна функція трьох змінних f(x, y, z). Розглянемо наступний функціонал на С ([a ,b]).

При цьому за визначенням функціоналу маємо, що для того, щоб по функції y(x) із С ([a, b]) отримати число F(y) необхідно спочатку продиференціювати y(x). Потім треба підставити y(x) у другий аргумент, а – у третій аргумент функції f(x, y, z). Тоді отримається функція однієї змінної, яка числу х ставить у відповідність число . І нарешті необхідно взяти інтеграл від цієї функції, і тоді отримаємо шукане число F(y). Функціонали типу F(y) називаються функціоналами класичного варіаційного числення.

Нехай дано набір функцій (x, y, z), (x, y, z),..., (x, y, z). Розглянемо відповідні їм функціонали варіаційного числення і нескінченну варіаційну задачу

,

де функції у(х) задовольняють граничним умовам на кінцях відрізку [a, b]: .

Її називають ізопериметричною задачею класичного варіаційного числення.

Множину функцій y(x) із С ([a, b]), які задовольняють умовам , , називають допустимими.

Якщо обмеження типу відсутні, то задача приймає вигляд

( )

по усім y(x) таким , що і цю задачу називають найпростішою задачею класичного варіаційного числення.

Для визначення локального мінімуму (максимуму) беруть так звану “міру близькості” функцій із С ([a, b]) однієї від одної. У якості близькості функції у(х) від функції тотожно рівної нулеві беруть число

- це норма функції у(х), а в якості міри близькості функцій і число .

Теорема (Ейлера). Нехай у найпростішій задачі - неперервно диференційована функція трьох змінних. Тоді, якщо функція постачає локальний екстремум (мінімум або максимум), то виконується наступна рівність

.

Вона називається рівнянням Ейлера. Його допустимі розв’язки називаються стаціонарними точками або її екстремалями.

Рівносильним рівнянням до рівняння Ейлера є

(отримана диференціюванням).

Зуб Аліна

студентка ІІІ курсу математичного факультету ЗНУ

Наук. кер.: к. ф.-м. н., доцент Д’яченко Н. М.