Глава 5. Фирма и теория производства

197

если затраты (К и L) изменяются пропорционально. Это значит, что в каждой точ­ке любого луча, исходящего из начала координат на рис. 5.15 (т. е. в точках А, В, С и т. д.), наклон изоквант (Q,, Q_r Q₃ и т. д.) постоянен.

Во-вторых, в соответствии с теоремой Эйлера сумма частичных производных относительно независимой переменной равна произведению зависимой перемен­ной на степень однородности.

Теорема Эйлера: если выражение Y = (X_v Х₂, ■■,Х_п) однородно, то ^^ЭУ/Э^, = tY, где t — показатель степени однородности.

В случае двухфакторной модели это означает, что:

tQ-Lx MP_L + KxMP_K. (5.20)

Эти два свойства однородной производственной функции особенно важны при анализе издержек (см. главу 6), а также при изучении распределения дохода в конкурентной экономике.

Эластичность выпуска и отдача от масштаба. Если считать формой произ­водственной функции длительного периода степенную функцию:

Q = AL^aKb при а + Ъ = 1, то

показатели а и Ь равны коэффициентам эластичности по факторам:

1

_ MP_L _ aAK^L"-' _ ^bQl~ AP_L~ ARtLT¹ ~°" _ MP_K РЛГХ^М

AP_K AL^aK^

Для характеристики отдачи от масштаба используется коэффициент эластич­ности выпуска от масштаба (е„_к). Данная величина показывает, на сколько из­менится выпуск, если темп роста объемов использования обоих факторов увели­чится на единицу:

dQ К ^■" ⁼ dK-Q- (5.21)

Коэффициент эластичности выпуска от масштаба характеризует степень од­нородности производственной функции, т. е. отдача от масштаба может быть представлена в универсальной форме:

Q,Ke&-Q(tL,tK). (5.22)

Если показатель степени (е„_£):

• >1, то отдача от масштаба возрастает;

• = 1, то отдача от масштаба постоянна;

• <1 то отдача от масштаба снижается.

Теорема Викселя-Джонса: эластичность выпуска от масштаба равна сумме эластичностей выпуска от используемых факторов:

^еш = ^е<ц.^{+ е}ак- (⁵-²³)

198

Часть I. Основы рыночного анализа

Доказательство. Полный дифференциал однородной функции Q = f(L,K) равен:

^{DQjidL+didK- <5-24>}

При пропорциональном изменении факторов имеет место:

dt dL dK , dt , , dt ,.,..

_Т = _Т = _Т=»Л = _ТЯ,Л-_ТХ. (5.25)

Подставив 5.25 в 5.24, получим:

Умножим обе части полученного равенства на t/ Q x dt. dQ t_₌df_ L_ df_ K_ dt 'Q~ dL Q⁺ dK'Q'

а это есть не что иное, как выражение 5.23, что и требовалось доказать.

5.11. Симметричность теорий потребления и производства

Мы два различных бытия. Мы зеркала — и ты, и я. Я все возьму и углублю,

Но отражая, — преломлю. (февраль 1913)

Зинаида Николаевна Гиппиус (1869-1945)

В главе 4 рассматривалась теория потребления, объясняющая природу линии спроса. Глава 5 посвящена теории производства, объясняющей природу линии предложения. Данные две теории являются симметричными — модели, рассмат­риваемые в них, различаются лишь символами (табл. 5.5).

Таблица 5.5 Симметричность теорий потребления и производства

Теория потребления	Теория производства
1. Функция полезности:	1. Производственная функция:
U-U(X,Y)	Q-Q(K, L)
2. Общая полезность:	2. Общий продукт:
п/ = /«2„...<2„)	77»-/(/„ .../„)
3. Предельная полезность:	3. Предельный продукт:
э<2	MP-™ dl
4. Кривая безразличия (U).	4. Изокоста (Q).
5. Предельная норма замещения:	5. Предельная норма технической замены:
dY	MRTS= - — dL