Визначення очікуваної дохідності і ризику портфеля

Очікуваний дохід портфеля залежить від очікуваної дохідності кожного цінного папера, що міститься в ньому, та його питомої ваги. Формула очікуваної дохідності портфеля з двох цінних паперів має такий вигляд:

E (R_p) = W₁E (R_i) + W₂E (R_j),

де E (R_p) — очікуваний дохід портфеля;

W_i і W_j — питома вага цінних паперів у портфелі (W — Weight — вага) за умови, що W_i + W_j = 1;

E (R_i), E (R_j) — очікувані дохідності цінних паперів у портфелі.

Припустимо, що в портфелі дві акції i і j із такими показниками:

Акція	Очікувана дохідність	σ2	Питома вага
i	0,078	0,0127	0,7
j	0,058	0,0034	0,3

Визначаємо дохідність портфеля:

E (R_p) = 0,078 (0,7) + 0,058 (0,3) = 0,072 → 7,2 %.

Ризик портфеля залежить від питомої ваги кожного цінного папера в портфелі і коваріації їхніх доходів. Формула визначення варіації (мінливості) портфеля:

,

де — варіація портфеля (вимір ризику);

W_i і W_j — питома вага кожного цінного папера в портфелі;

і— варіації (коливання) доходів цінних паперів;

_ij або Cov_ij — коваріація доходів двох цінних паперів;

2 — коефіцієнт.

Використовуємо ті самі дані, що й при обчисленні очікуваного доходу. Додатково нам треба визначити показник коваріації _ij за формулою:

де Т — число періодів, використовуваних для визначення коваріації.

1) Визначаємо стандартне відхилення для кожного цінного папера в кожному році:

Рік	Акція i					Акція j
	Дохід	–	Середня	=	Відхилення від середньої	Дохід	–	Середня	=	Відхилення від середньої
1	0,18	–	0,078	=	0,102	0,14	–	0,058	=	0,082
2	0,15	–	0,078	=	0,072	0,09	–	0,058	=	0,032
3	–0,13	–	0,078	=	–0,208	0,02	–	0,058	=	–0,038
4	0,5	–	0,078	=	0,422	–0,03	–	0,058	=	–0,088
5	0,14	–	0,078	=	0,062	0,07	–	0,058	=	0,012
Σ					0,45					0

2) Визначаємо коваріацію (множимо відхилення від середньої за акцією i на відхилення від середньої за акцією j):

Рік	Акція i		Акція j
1	0,102		0,082	=	0,0084
2	0,072		0,032	=	0,0023
3	–0,208		–0,038	=	0,0079
4	0,422		–0,088	=	–0,037
5	0,062		0,012	=	0,0007
Σ					–0,0177

3) Визначаємо показник коваріації за п’ятирічний період:

.

4) Визначаємо варіацію (мінливість) портфеля:

= (0,7)² · 0,0127 + (0,3)² · 0,0034 + 2 · 0,7 · 0,3 · (–0,00354) =

= 0,006223 + 0,000306 – 0,0015 = 0,005.

5) Визначаємо стандартне відхилення портфельного доходу (тобто його ризик):

.

Можливий другий варіант розв’язання задачі.

Для визначення ризику можна використовувати не тільки показник коваріації, а й коефіцієнт кореляції, які між собою тісно пов’язані.

1) Визначаємо _i і _j:

,.

2) Визначаємо коефіцієнт кореляції за формулою:

.

3) Вносимо зміни у формулу і визначаємо варіацію портфеля:

= (0,7)²(0,0127) + (0,3)²(0,0034) + 2(0,7)(0,3)(–0,5396)(0,1127)(0,0583) =

= 0,00622 + 0,000306 + 0,00185 = 0,006529 – 0,001489 = 0,005.

4) Визначаємо ризик портфеля:

.

Коефіцієнт кореляції являє собою розщеплену, по суті, зважену коваріацію. Це означає, що коефіцієнт кореляції коливається від +1 до –1. Якщо коефіцієнт кореляції більше 0, то це означає, що дві змінні (у даному разі доходи за двома акціями) змінюються в одному напрямку. Портфельний ризик буде залежати від ризику кожної акції і її питомої ваги в портфелі. Чим менша тіснота зв’язку між рухом доходів від акцій, тим нижчий можливий ризик. У випадку, коли коефіцієнт становить –1, рух доходів за акціями відбувається у різних напрямках. Інвестор звичайно прагне створити портфель із нульовою варіацією через регулювання частками акцій у ньому.

Дохідність і ризик портфеля з множиною цінних паперів визначаються за формулами:

;

,

де n — число цінних паперів у портфелі.

Отже, математично дохід і ризик визначаються за тими самими рівняннями, що й у портфелі з двома змінними, змінюється тільки число цінних паперів (n).