Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

дисконта всегда умножается на показатель, имеющий размерность времени. В формуле (6.7) такое умножение тоже есть — как видно из вывода этой формулы, норма дисконта в ней умножена на 1 год! Поэтому в показателе степени здесь стоит безразмерная величина и проблем с размерностью не возникает.

Мы рассмотрели вопрос о дисконтировании дискретного потока. А как поступать, если выручка от продаж или платежи поставщикам осуществляются непрерывно? Чтобы выяснить, какой должна быть расчетная формула в таких ситуациях, рассмотрим непрерывный денежный поток инвестора, характеризуемый функцией накопленного эффекта Ф(7). Разбивая расчетный период на малые шаги длительностью М (при этом п-й шаг будет начинаться в момент 1_п = пМ), заменим непрерывный поток дискретным так, что на п-м шаге будет обеспечиваться эффект ДФ„ = Ф(1_п + _х) - Ф(/„)- Заменяя эти эффекты эквивалентными дисконтированными и суммируя, получим следующую формулу для интегрального дисконтированного эффекта проекта: Ф_инт = Х^дф"^{е П}" •

_ п

Предел этого выражения при ДГ-> 0 можно записать в виде следующего интеграла¹:

т

Ф„гг= К^^ф(')- (6.8)

о

Для гладкой функции Ф эта величина может быть выражена через интенсивность (скорость, плотность) денежного потока — производную Ф'(0^:

^фи„т = ]е-*Ф\№. (6.9)

о

В отличие от формулы (6.9) формула (6.8) применима к любым денежным потокам, в том числе и таким, у которых функция накопленного эффекта Ф разрывная. В частности, для дискретного денежного потока она принимает вид формулы (6.5).

На практике обычно используют годовую, а не непрерывную норму дисконта. Учитывая, что обе нормы связаны соотношением (6.7), основную формулу (6.8) можно представить и в следующем виде:

¹ Для лиц, более глубоко изучавших высшую математику и теорию вероятностей, обратим внимание на то, что подобные интегралы: 1) встречаются в теории вероятностей и определяют так называемые характеристические функции распределений вероятностей; 2) часто используются в технических науках и определяются как преобразования Лапласа от распределений Ф; 3) представляют собой не обычные интегралы Римана, а интегралы Стильтьеса (см. раздел 6.9).

Глава 6. Теоретические основы дисконтирования

203

Применив эту формулу к дискретному денежному потоку, в котором эффекты Ф₀, Фр..., Ф_т достигаются в неравноотстоящие моменты времени ^ 1_Х,..., 1_т, получим следующее представление интегрального эффекта

Д Ф для данного случая: Ф_инт = 2л—^г~г-. Примерно в таком виде эта фор-

мула используется в практических расчетах эффективности в случае, когда расчетный период разбит на неравные шаги.

Наиболее часто в практических расчетах встречаются ситуации, когда денежный поток состоит из двух частей — дискретного потока, связанного, например, с кредитными операциями, и "гладкого" непрерывного потока, отражающего операции по производству и реализации продукции. Первый поток характеризуется моментами времени 1_Р 1% .., 1_т, в которые осуществляются платежи, и размерами соответствующих денежных поступлений или расходов Ф_х, Ф₂,..., Ф_т. Второй поток характеризуется интенсивностью (скоростью возрастания, плотностью) денежных поступлений Ф" (0 • Иными словами, в малом отрезке времени (/, I + А*) величина денежных поступлений от соответствующих операций будет составлять Ф'(1)М.

Для совокупного денежного потока величина интегрального дисконтированного эффекта определяется путем суммирования соответствующих формул:

& Ф ^ТгФ'(1)с11

^{•--ЗййМоНг (6Л1)}

О том, насколько существенно меняется интегральный дисконтированный эффект проекта при замене непрерывного денежного потока дискретным, можно судить по следующему упрощенному примеру.

ПРИМЕР 6.7. Проект предусматривает сооружение объекта и последующую его эксплуатацию. Сооружение объекта занимает 1 год и требует затрат 160 млн. руб., которые осуществляются равномерно. Объект эксплуатируется в течение 8 лет, при этом интенсивность (скорость) получения эффекта равномерно снижается от 60 до 12 млн. руб./год. Таким образом, в момент времени X она составляет 60 - 6(? - 1) млн. руб./год. Поскольку в период эксплуатации объекта интенсивность получения эффекта меняется линейно по времени, то размер эффекта за любой отрезок времени равен средней интенсивности, умноженной на длительность отрезка. В частности, на первом году эксплуатации будет получен эффект 60 - 6x0,5 = 57 млн. руб., на втором — 60 - 6х 1,5 = 51 млн. руб. и т. д.

204