Глава 14. О некоторых нетрадиционных подходах к оценке инвестиций 637

14.5.2. Модель с непрерывным изменением цены актива

Именно эту модель и соответствующую ей формулу расчета стоимости европейского опциона "колл" без промежуточных выплат (дивидендов и др.) предложили Ф. Блэк и М. Шоулз. В связи с предложенной ими идеей, описанной выше, стоимость опциона определяется как стоимость "пакета" из акций и займа (дающего те же результаты в будущем, что и опцион) за вычетом стоимости займа. По сути дела, согласно Ф. Блэку и М. Шоулзу стоимость опциона равна разности страховых инвестиций (или, что то же самое, хеджирования актива (акций)) и величины займа, отвечающих характеристикам эквивалента опциона. Формула Блэка—Шоулза строго выводится для достаточно специального поведения цены акций (см. ниже формулу (14.21)), но практически используется и за пределами этого ограничения.

Введем следующие обозначения:

С(1) — стоимость опциона на приобретение за время I в выбранных единицах времени до исполнения; 5 — текущая цена базового актива;

г — безрисковая доходность (эффективная ставка за единицу времени с непрерывным сложным процентом); X — цена исполнения опциона;

Хе'^п — приведенная стоимость цены исполнения актива; о — стандартное отклонение доходности базового актива за рассматриваемый период (с непрерывным начислением);

_1п[5/Хе-^п] а-Л

а41 ⁺ 2 '

Тогда формула стоимости опциона принимает вид (доказательство см. ниже в этом пункте, а также в [72, 130]):

С(0 = 5 Ф(2) - Хе~^п Ф( ₂ - аЛ). (И.20)

1 у -?1 где Ф(у)=-^=- [е ² с1х — функция стандартного нормального распреде-

ления (кумулятивная).

В формуле Блэка—Шоулза величина Ф(г) равна количеству акций, необходимых для адекватного копирования европейского опциона "колл" (коэффициенту хеджирования или "дельте опциона" [18]), 5-Ф(г) равна страховым инвестициям, аХ'Ф(г-стл/7) — стоимости займа (е~^ы— дис-

638

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

котирующий множитель, приводящий стоимость займа к моменту приобретения опциона). Поэтому формулу Блэка—Шоулза можно трактовать так

Стоимость опциона = Дельта опциона х Текущая цена базового актива -

- Стоимость займа.

Существенно, что в формулу Блэка—Шоулза не входит величина ожидаемой силы роста стоимости базового актива ц (см. ниже), а учитывается только темп роста ее дисперсии. В чисто практических целях расчеты стоимости опционов "колл" можно вести, используя также специальные таблицы (см. приложения к [18]).

Несмотря на некоторую искусственность предположений, основным из которых является предположение о том, что цена акции является случайной функцией времени, подчиняющейся логарифмически нормальному закону (см. ниже), формула Блэка—Шоулза быстро стала очень популярной как в силу своей простоты, так и в связи с тем, что именно в это время была начата организованная торговля опционами на Чикагской бирже. Не случайно, что за это открытие М. Шоулзу вместе с Р. Мертоном в 1997 г. была присуждена Нобелевская премия (Ф. Блэк к этому времени уже умер).

ПРИМЕР 14.15- Пусть требуется оценить стоимость опциона на актив, текущая цена которого равна 200, цена исполнения — 300, а срок равен 9 годам. Безрисковая годовая процентная ставка 6%. Стандартное отклонение цены актива равно 30% в год. Тогда:

а) приведенная цена исполнения

Хе'^п = 300 -е-⁰'⁰⁶⁹ =174,8245;

б) отношение текущей стоимости к приведенной цене исполнения

= 1,144005;

5 200

Х-е~^п 174,8245

в) Стандартное отклонение х Корень из срока = а-л/7 =

= 0,3x^/9=0,9.

Относительная цена европейского опциона "колл", т. е. С(()/5= С(9)/200 согласно табл. 6 приложения к [18], равна 0,392.

Следовательно, искомая стоимость опциона равна

0,392x200=78,4;

коэффициент хеджирования, т. е. дельта рассматриваемого опциона, согласно табл. 7 приложения к [18], равен 0,7254. Таким образом, вместо