Глава 14. О некоторых нетрадиционных подходах к оценке инвестиций 643

Эффективность вклада в акции (или любые ценные бумаги, на которые выпускается опцион) случайна, и цена акции описывается уравнением (14.21).

Пусть в момент 0 приобретается опцион на покупку со сроком исполнения Т и ценой исполнения в этот момент, равной X

Рассмотрим портфель, состоящий из такого опциона и некоторого количества х акций. Вклад в приобретение такого портфеля равен С+х-5, где 5 — текущий курс. Пусть в любой момент I курс известен. Будем подбирать х так, чтобы цена портфеля

Р = С(1,5₁)+х-5,

не зависела от курса 5_Р т. е. чтобы портфель был безрисковым. Для этого

при постоянных I и х производная — должна обратиться в нуль, т. е.

ЭС

—— + х = 0, а текущая (в момент I) цена портфеля равна:

Р(!) = С<?,5_Ё)-Щ.5_Г Доходность такого портфеля за интервал времени <И составит:

₌ ар ^ ас^Ух-аз, _ ^^-—аз,

Р Р С(*,5,)+*Л с(;Л)-^-5, '

Э5

Отсюда с учетом формулы (14.22) получим:

дС 1 _{2 2}д²С

— 1- — СТ >> 5"

Поскольку портфель безрисковый, в силу безарбитражности рынка он должен обеспечивать ту же доходность, что и иные безрисковые ценные бумаги, т. е.

ОК_р=г-сИ.

_-§*

Тем самым получаем соотношение дС 1 _г2 2 д²С

2

_!_ " С² ~2

д1 2 Э5

644

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

представляющее собой уравнение в частных производных для функции С($,5,\ которое интегрируется при очевидном краевом условии

С(Т,5) = тах{5-Х,0}.

Это так называемое уравнение типа Фейнмана—Каца [135]. Оно приво-

, дУ 1 д²У дится к стандартному уравнению параболического типа — = _Т при

Эт 2 ду^г краевом условии У(0,у) = т2х\е^у -Х,0\ подстановкой

*-*

т = а²-(Г-г); у = 1п5 +

•(Г-г); У(х,у)=е^г<^т-¹УС({,5)

Формула (14.20) и является результатом интегрирования указанного уравнения. ■

Еще раз подчеркнем, что формула (14.20) базируется на сильной гипотезе (14.21) о поведении цен, а кроме того, предполагает "бесфрикци-онность" рынка с "бесплатными" операциями по непрерывной коррекции портфеля. В подобной ситуации приращения логарифмов цены актива за любые равные по длительности непересекающиеся отрезки времени будут независимыми случайными величинами с равными математическими ожиданиями. Между тем, как показывает статистика новых, недавно возникших в Восточной Европе и России рынков ценных бумаг, средние за достаточно большие отрезки времени могут сильно различаться, а колебания за короткие (порядка часов) последовательные отрезки оказываются скоррелированными. Поэтому в российских условиях практическая применимость моделей, основанных на (14.20), представляется ограниченной.

14.5.3- Модель с дискретным изменением цены активов

Эта модель и соответствующая формула (она называется биномиальной формулой оценки стоимости европейского опциона) были предложены Дж. Коксом, С. Россом и М. Рубинштейном в 1979 г. [140]. В модели принято, что время изменяется дискретно через равные промежутки, причем длительность каждого элементарного периода-шага считается малой по сравнению с общей продолжительностью периода до исполнения опциона (например, элементарный период — день, а общая продолжительность — годы, полгода или, по крайней мере, месяц). Пусть К — безрисковая ставка процентов за один шаг. Предполагается, что с