Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 691

Если перед фирмой стоит задача выполнять соответствующие работы постоянно, то она может по своему усмотрению выбрать момент списания машины с одновременной ее заменой. Следуя [69], примем, что каждая выбывающая машина заменяется точно такой же. Таким образом возникает бесконечная цепь последовательных замещений одного оборудования другим, более "молодым" (мы не используем термин "новым", который относится к технически более совершенным видам оборудования; проблемы, связанные с учетом факторов технологического прогресса, рассматриваются ниже). Отметим, что, поскольку производительность всех машин одна и та же, изменения моментов замены сказываются только на затратах фирмы, но не на объеме выполняемых ею работ.

Цепь последовательных замещений, начинающаяся в момент начала проекта (Г = 0), однозначно определяется сроками службы этих единиц, которые мы обозначим через Т=Т_г,Т₂ ... Какими бы ни были эти величины, такая цепь всегда обеспечивает получение одних и тех же результатов в каждом году (бесконечного) расчетного периода. Однако затраты, связанные с реализацией разных цепей, будут разными, в связи с чем задача оптимизации сроков службы превращается в задачу выбора оптимальной цепи последовательных замещений по критерию минимума интегральных дисконтированных затрат З_инГ Попробуем формализовать этот критерий.

Моменты приобретения 1-й, 2-й, ..., т-й из последовательно вводимых в эксплуатацию машин обозначим соответственно через х_1; т₂,..., т_т. Они связаны со сроками службы машин очевидными соотношениями: х₁ = 0; х_т = Т, + Т_т__х.

Интегральные дисконтированные затраты 2_Х, связанные с эксплуатацией первой единицы оборудования до момента ее списания Т = Т_х, даются формулой

т

о

Для второй заменяющей единицы оборудования формула будет аналогичной с той лишь разницей, что она начнет функционировать не в момент 0, а в момент Т = Т_х и срок ее службы завершится в момент 7^ + Т₂. Казалось бы, надо написать эту и аналогичные формулы для последующих единиц оборудования, потом все это просуммировать и решать оптимизационную задачу с бесконечным числом неизвестных. Однако экономические соображения позволяют ничего этого не делать.

Действительно, рассмотрим положение фирмы в момент времени Т=Т_у Кроме календарной даты, оно ничем не отличается от ее положения в момент времени 0. По-прежнему перед фирмой стоит задача обеспечить непрерывное выполнение некоторой работы с постоянной ин-

692 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

тенсивностью, и в этих целях она должна приобрести то же оборудование и далее эксплуатировать его, оптимально выбирая моменты замены. Поэтому если в момент 0 она приняла решение заменить оборудование через время Т, то и в момент Т она должна принять то же самое решение, так что вторая единица оборудования будет иметь тот же оптимальный срок службы Т, что и первая, и т. д. Но тогда затраты, связанные с любой единицей оборудования, дисконтированные к началу ее эксплуатации, тоже будут равны 7._х, а дисконтированные затраты, связанные со всей цепью последующих замещений, составят:

г К + 1е-^пС(1)а1-1(Т)е-^гТ

Х_ш=2_х+2_хе-^гТ +2_хе~^2гТ ₊ ... = -А^ = ° __^ .(15.12)

Оптимальный срок службы Т теперь определится путем минимизации полученного выражения (какой-либо аналитической формулы здесь написать нельзя).

Перейдем теперь к более сложной ситуации, когда каждая следующая единица оборудования не только "моложе" заменяемой, но и отличается по технико-экономическим параметрам, хотя имеет ту же производительность. Обозначим срок службы т-й единицы оборудования через Т_т, момент ее приобретения — через х_т, затраты на приобретение и интенсивность затрат по ней через время I после начала ее эксплуатации — соответственно через К_т и С_т(1). Тогда выражение для критериального показателя интегральных дисконтированных затрат примет вид:

3 ₌ V _е-«»

°ИНТ 7 ,^к

т>\

К_т+ \е-^пС_т{1)а1^1_т{Т_т)е'^гТ-

(15.13)

В полученной задаче бесконечное число неизвестных, хотя практически нам нужно только одно или несколько первых. Разумеется, имеется простой способ "снижения размерности": достаточно принять, что "технический прогресс после, например, третьей (или десятой, смотря с какой точностью вы хотите решить задачу) замены прекращается" и далее все единицы оборудования оказываются одинаковыми. Тогда "хвосты" в приведенной сумме вычисляются аналитически, как это было сделано выше, и мы приходим к задаче с конечным числом неизвестных. Подобные расчеты практически проводились, например, при оптимизации сроков службы башенных кранов.

Существенным в рассмотренных выше постановках было предположение о тождественности заменяемого и заменяющего оборудования по производительности. На самом деле такой тождественности нет,