Глава 12. Расчеты ожидаемой эффективности проекта

493

равномерно распределена на отрезке (-3, 5), то вероятность того, что она будет точно равна 4, — нулевая. В то же время можно рассматривать нечеткие величины, у которых степень принадлежности равна 1 для любого значения между —3 и 5. Далее, если случайная величина дискретна, то сумма вероятностей ее возможных значений равна единице. Для дискретных нечетких величин это не так. Кстати, наличие дискретных нечетких величин показывает, что нельзя отождествлять степень принадлежности и с плотностью вероятностного распределения. Укажем в этой связи на работу [16], где проведен анализ содержательных интерпретаций функции принадлежности и показано, что она имеет субъективный характер и при этом допускает вероятностную интерпретацию, хотя и в ином смысле — величина Х(ги) может трактоваться как вероятность того, что экономический субъект сочтет число ю действительно возможным значением величины X.

Нечеткая величина X называется нормальной, если существует такое число щ которое заведомо принадлежит этому множеству¹ (Х(го) = 1), и финитной, если существует такой отрезок числовой оси, что все числа, лежащие вне этого отрезка, заведомо невозможны (т. е. Х(го) = 0 находится вне этого отрезка).

Как правило, все параметры инвестиционных проектов являются нормальными и финитными величинами, поэтому'мы будем рассматривать только такие нечеткие величины, не оговаривая этого каждый раз в дальнейшем.

Обычные, детерминированные величины являются при этом частным случаем нечетких. Например, величине X, которая принимает единственно возможное значение Ь, отвечает функция принадлежности Х(ги), равная единице при » = йи нулю при прочих значениях ш Как видим, функции принадлежности могут быть и разрывными. Прогнозируемые значения отдельных параметров проекта иногда удобно трактовать как нечеткие. При этом степень принадлежности для каждого значения параметра определяется как вероятность того, что случайно выбранный эксперт оценивает соответствующий прогноз как возможный. Другими словами, если к из К экспертов считают значение ю возможным, то Х(ш) принимается равным к/К

ПРИМЕР 12.15- Выраженный в процентах индекс роста цены на товар в следующем году прогнозируют 10 экспертов. Они указали следующие интервалы для индекса: (108,11б); (104, 113); (Юб, 115); (111,122); (109, 120); (102, 114); (Ю5, 115); (ПО, 118); (ПО, 122); (108, 116). Кроме того, три эксперта опасаются возможности роста цен, связанного с деятельностью отраслевых лобби. В этой ситуации они считают возможными и

¹ Более точное определение, учитывающее, что функция принадлежности может быть разрывной, выглядит так: верхняя грань значений Х(и>) равна единице.

494

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

значения индекса, лежащие в интервалах соответственно (122,127); (124, 128) и (125, 129). Функция принадлежности, отвечающая таким прогнозам, приведена на следующем рисунке.

1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3

Так, значения 119 и 126 считают возможными три эксперта из десяти, и им отвечает степень принадлежности 0,3. Графики, полученные указанным способом, на практике, разумеется, сглаживают.

Как уже отмечалось, любое вещественное число может рассматриваться как потенциально возможное значение X. Однако целесообразно отбросить те из них, которые заведомо невозможны или имеют достаточно малую степень принадлежности. Это приводит к следующему понятию.

Множеством а-уровня величины X, обозначаемым Н_а(Х), называется множество таких чисел щ которые имеют степень принадлежности множеству возможных значений X, не меньшую, чем ос, т. е. такие числа, для которых Х(и>) > а Такое множество не обязательно будет отрезком (оно может, скажем, состоять из нескольких отрезков), но в нем будут минимальное и максимальное числа¹ — обозначим их соответственно через т(а, X) и М(а, X) и будем называть соответственно а-минималъным и а-максималъным значениями нечеткой величины X

В разделе 12.4 мы рассматривали величины, о которых было известно только то, что их значения лежат в некотором интервале. Такие величины являются частным случаем нечетких — их можно охарактеризовать функцией принадлежности, которая равна единице на соответствующем интервале и нулю — вне этого интервала. До сих пор принципиальной разницы между нечеткими и случайными параметрами не было, если не считать различной терминологии. И действительно, разница этих понятий не терминологическая: она не сводится к трактовке "степени возможности" (в одном случае — как степень при-

¹ Строго говоря, здесь надо учитывать нижнюю и верхнюю грани соответствующих значений, поскольку функция принадлежности может быть разрывной. Однако мы не будем обращать внимания на эти нюансы, поскольку они могут серьезно усложнить изложение.