Глава 12. Расчеты ожидаемой эффективности проекта

525

Ф - ЬсИ + с1и>. Но тогда ожидаемый интегральный дисконтированный эффект от последующей эксплуатации объекта будет равен /)(Ф - ЬсИ + сЫи). Правда, этот эффект будет дисконтирован к моменту сК, а не к моменту О — это можно исправить, умножив его на коэффициент дисконтирования е'^г<и. Поэтому математическое ожидание эффектов, полученных за время сИ и позднее (до прекращения проекта), равно усК + е'^гсаО((р - ЬсИ + + сШ). Усреднив полученное выражение по всем возможным значениям йи) с учетом их вероятностей, найдем (на этот раз безусловное) математическое ожидание эффекта, полученного до момента прекращения проекта:

г»(Ф)=М [ф<#+е-^гаО{ч) - ЬсИ+Ои>)\,

где символом М обозначено математическое ожидание.

Предполагая, что функция Б дважды дифференцируема, разложим выражение под знаком математического ожидания в ряд Тейлора и ограничимся первыми тремя его членами. Тогда с точностью до малых более высокого порядка получим

г»(ф)=М

Ф<# + -0(ф)- гО((р)Ш - Ю'(ф) сИ + /У(ф) Ои> + ]-й"{^){аи>у-

Учтем теперь, что математическое ожидание ски равно нулю, а математическое ожидание (с1го)² равно о²сИ. Тогда полученная формула может быть записана проще:

.0(ф) = ф₀<# + -0(ф)- гД(ф)<# - ЫУ(у)а{ + (ст²/2)/Г(ф)<#,

откуда вытекает следующее дифференциальное уравнение для искомой функции Э:

(ст²/2)о'(ф)-ЫУ(ф)->"Д(ф)= -Ф- (12.24)

Это уравнение имеет много решений. Чтобы выбрать из них правильное, заметим, что при отсутствии физического износа и случайных колебаний цен функция Э в соответствии с (12.22) будет равна ф/г. Поэтому при неограниченном росте ф она будет расти не быстрее, чем ф в первой степени. Влияние физического износа и случайных колебаний цен вокруг их среднего значения не изменит характера этого роста. Значит, из всех решений уравнения нам необходимо то, которое удовлетворяет условию 7Э(0) = 0 и с ростом ф растет не быстрее, чем ф в первой степени. Такое решение оказывается единственным и, как можно получить с помощью известных приемов решения дифференциальных уравнений, имеет следующий вид, очень похожий на (12.22):

ХФ*-*Ц^, где Р- * ₂. (12.25)

г г² Ь+4&+2га^г

526

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

Итак, мы получаем, что влияние случайных колебаний рыночной конъюнктуры проявится в уменьшении коэффициента при ср во входящей в формулу (12.22) экспоненте — коэффициент г/Ь заменится меньшим коэффициентом ^ Тем не менее будет правомерным поставить вопрос: нельзя ли и при наличии случайных колебаний эффекта проводить расчет так, как будто никакой неопределенности нет, т. е. по формуле (12.22), а влияние неопределенности учесть, используя другую норму дисконта г_н, т. е. путем введения премии за риск? Конечно, сделать это можно, однако результаты окажутся далекими от ожиданий (разумеется, обычных, а не математических).

Итак, мы хотим подобрать такое значение г_н, чтобы, подставив его в формулу (12.22), получить то же значение ожидаемого эффекта, которое дает формула (12.25) при "нормальном", безрисковом значении нормы дисконта г. Это требование можно записать в следующем виде:

1.

ь{\-_е-^г»^т)_д> ь{\-е~^)

_гс _г л Чтобы упростить это уравнение, напом-

ним, что срок службы объекта при отсутствии случайностей составлял

Глет и при этом Т= ср/Ь, так что Ь = ср/Г. Обозначим, кроме того, г\-\ =2,

тогда о = — у . Сделав соответствующие замены и сократив обе части уравнения на ср, получим

-г,х

1-е

Тг1

Тг'

1-е

2гГ Л

1+,/1+2г

(12.26)

Таким образом, норма дисконта с учетом риска г_н зависит от безрисковой нормы дисконта г, безрискового срока службы объекта Г и безразмерного параметра г, отражающего величину случайных колебаний эффекта. Небольшая таблица соответствующих значений г_н, рассчитанных по полученной формуле при Т= 15 лет, представлена ниже.

I	г =0,05	г=0,1	г=0,15
0	0,050	0,100	0,150
0,1	0,034	0,094	0,148
0,2	0,022	0,090	0,146
0,3	0,012	0,086	0,144
0,4	0,003	0,082	0,142

Результат, как видим, получился неожиданный — с ростом разброса эффекта скорректированная норма дисконта г_н не увеличивается, а уменьшается! Более того, это уменьшение (отрицательная премия за риск!) зависит от безрисковой нормы дисконта: при больших г оно менее