Глава 14. О некоторых нетрадиционных подходах к оценке инвестиций

645

заданной вероятностью текущая цена на актив спот 5 увеличивается на каждом шаге (всего их /) до уровня Ь'5 ф>(1 + К)> 1) либо с дополнительной вероятностью уменьшается до уровня к'5 (0<&<1). Например, в конце первого шага текущая цена на актив может составить либо Ь-5, либо к-5. Тогда стоимость европейского опциона "колл" на покупку через I шагов актива по цене исполнения X при текущей цене спот 5 может быть рассчитана по формуле

С(5,1) =

1

(1 + *У

^■д<-{1-ду-^{-\5-Ь'-/г^ы-Х

1=1 ^у '

(14.23)

1 + К-к

^где* = ^Г^;

г = тах{о,г }, а г — минимальное целое г, для которого выполняется условие 5 • Ь' ■ к¹'¹ > X; К — безрисковая ставка процентов за один шаг.

Интересно отметить, что стоимость опциона не зависит от конкретного, но неизменного на всех шагах значения вероятности изменения цены актива за один шаг.

ПРИМЕР 14.18. Пусть 5 = 90; X = 120; безрисковая процентная ставка 60% годовых (поэтому К = 60/360 =0,1667% за день). Выполним расчет для I = 30 дням и 60 дням при разных Ъик. Результаты расчета приведены в следующей таблице.

к	А =1,05	А= 1,10	А= 1,15	А = 1,20
Г = 30 дней
к = 0,85 к = 0,90 к = 0,95	9,435 6,345 2,919	16,280 11,934 6,585	21,976 16,103 9,533	25,822 19,490 11,854
1 = 60 дней
к = 0,85 к = 0,90 к = 0,95	18,071 13,285 7,698	27,808 21,412 13,285	34,928 27,259 17,700	40,244 31,876 21,170

Заметим, что рассмотренная в предыдущем пункте формула Блэка— Шоулза соответствует случаю, когда длина шага стремится к нулю, а число шагов — к бесконечности и поэтому (при соблюдении опреде-

646

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

ленных условий согласования параметров [74]) может быть получена из биномиальной формулы предельным переходом.

"Доказательство формулы (1423)

Излагаемый ниже вывод заимствован из [74] и несколько модифицирован.

Цена опциона на некотором шаге при заданной цене исполнения зависит от цены финансового инструмента и от числа шагов (периодов), оставшихся до исполнения этого опциона. Поэтому цена опциона на шаге т (т. е. через т шагов от момента покупки или за (I - т) шагов до момента исполнения) равна Сц-т,Ъ'к^т~'5) при условии, что за время от покупки цена финансового инструмента на г шагах изменилась в Ь раз, а на оставшихся (т - г) шагах — в к раз. При т = I (в момент исполнения) цена опциона равна:

ф,Ь* -к'⁴ ■ $)= таф' ■ к¹'¹ ■ 5 - X ,о\ (14.24)

Рассмотрим теперь портфель, содержащий п единиц финансового инструмента и один опцион на приобретение. Пусть стоимость такого портфеля на некотором шаге т равна:

п-Ъ¹ -к^тЧ -5 + ф-т,Ь^{ -к^тЧ ■$). На шаге (т + 1) стоимость этого портфеля будет равна либо

п-Ь^м -к^т-¹ -5 + с(г-т-\,Ь^м -к"¹'* -5) (14.25)

(если на этом шаге стоимость финансового инструмента изменится в Ъ раз), либо

п-Ь* -к^т+1-^{ -5 + с{(-т-1,Ь' -к^т+1-^{ ■$), (14.26)

если эта стоимость изменится в к раз.

Выберем п таким образом, чтобы величины (14.25) и (14.26) были равны между собой (если число п окажется отрицательным, это значит, что п единиц инструмента следует не приобрести, а продать). В этом, и только в этом, случае стоимость портфеля на шаге (т + 1) известна с определенностью, или, иными словами, портфель становится безрис-ковым. Приравнивая (14.25) и (14.26), находим:

_п_ф-т-\М -к^т+1-⁽ -5)-с{1-т-1,Ь^м -к^т-^{ -5) Ь¹-к^т'¹-5-{Ь-к)