Глава 12 Расчеты ожидаемой эффективности проекта

497

Эта формула, в частности, применима для того, чтобы установить, какой функцией принадлежности характеризуется эффект от совместной реализации двух независимых проектов с нечеткими эффектами. Аналогично определяется и произведение нечетких величин:

2. = XV :7.(го) = тах\тт

ВД; У\

IV

для всех го.

ПРИМЕР 12.16. Нечеткие величины распределены на отрезках соответственно (1, 3) и (7, 9) и имеют там функцию принадлежности, равную единице. Легко проверяется, что их сумма может быть представлена аналогично — это будет нечеткая величина, имеющая функцию принадлежности, равную единице на отрезке (8, 12). При этом полусумма рассмотренных величин будет распределена на отрезке (4, б) и иметь там функцию принадлежности, равную единице.

Как видно из этого примера, при усреднении независимых нечетких величин разброс возможных значений не уменьшается. Это еще одно принципиальное отличие нечетких величин от случайных. Более того, нетрудно доказать, что если нечеткие величины независимы и имеют одно и то же распределение на некотором отрезке, причем функция принадлежности унимодальна (т. е. сначала возрастает от 0 до 1, а затем убывает от 1 до 0), то среднее арифметическое любого числа таких величин имеет точно такое же распределение на том же отрезке (тогда как для случайных величин по закону больших чисел среднее арифметическое в определенном смысле стремится к математическому ожиданию усредняемых величин).

ПРИМЕР 12.17. Пусть, например, перемножаются две нечеткие величины. Одна из них X распределена на отрезке [4, 7], причем функция принадлежности здесь всюду равна единице. Вторая У принимает только три значения — 1, 2 и 3 со степенью принадлежности соответственно 0,2; 1 и 0,6. Определим функцию принадлежности для произведения 2. = XV. Очевидно, что величина 2 будет распределена на отрезке [4, 21]. Однако числа в интервале от 4 до 7 можно представить в виде произведения XV единственным способом, поскольку единственно возможным значением У здесь будет единица. Таким образом, этим числам будет отвечать степень принадлежности 0,2. Числа 8 < 2 < 12 представимы в виде произведения XV только при У = 2 — этому будет отвечать наибольшая степень принадлежности, равная единице. Числа г > 14 представимы в виде произведения XV только при У = 3 — этому отвечает степень принадлежности 0,6. Наконец, числа 12 < г < 14 можно представить произведением XV двумя способами: и при У = 2, и при У = 3, но наибольшая степень принадлежности будет в первом случае. Таким образом:

498

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

вд =

0,2 при 4 < IV < 7; 1 при 8 < IV < 14; 0,6 при 14 < г^ < 21.

Теперь можно представить процедуру формирования эффекта для проектов с нечеткими параметрами. Придадим этим параметрам какие-то значения и запомним соответствующие степени принадлежности. В процессе расчетов эффективности эти параметры будут преобразовываться, появятся другие расчетные характеристики проекта, и их степени принадлежности также можно будет определить по приведенным формулам. В конце концов, мы выйдем на какое-то значение ЧДЦ и найдем отвечающую ему степень принадлежности. Теперь возьмем другие исходные значения параметров и повторим эту же процедуру. Мы получим другое значение ЧДЦ с иной степенью принадлежности. Продолжая такие расчеты (или проводя их в аналитическом виде), можно рассчитать значения функции принадлежности для любого возможного значения ЧДЦ проекта. Таким образом, от проекта с нечеткими значениями исходных параметров мы переходим к проектам с нечетким эффектом.

Вопрос о правилах принятия решений в условиях, когда параметры проектов являются нечеткими, может исследоваться с разных позиций (см., например, [10, 32, 33]). В соответствии с нашим подходом решение о целесообразности реализации проекта или участия в нем должно приниматься на основе критерия ожидаемого эффекта. Основная проблема при этом сводится к тому, какое значение ожидаемого эффекта приписать проекту, возможные значения эффекта которого лежат в некотором интервале и характеризуются разными значениями функции принадлежности. Для ответа на этот вопрос необходимо сформулировать те требования (правила рационального экономического поведения), которым должен удовлетворять "хороший" критерий ожидаемого эффекта. Представляется, что таких требований должно быть, по крайней мере, три, причем данные требования мы уже упоминали при рассмотрении других видов неопределенности.

Монотонность. Если нечеткий эффект проекта X доминирует нечеткий эффект проекта У, то ожидаемый эффект у проекта Хне меньше, чему проекта У.

Согласованность. Ожидаемый эффект детерминированного проекта совпадает с обычным. Иными словами, если эффект проекта на самом деле детерминированный и точно равен Э, то при рассмотрении такого эффекта как нечеткого ожидаемый эффект такого проекта окажется тоже равным Э. Эта аксиома обеспечивает согласованность расчетов эффективности нечетких и обычных, детерминированных проектов.

Независимость от дополнительных проектов. Пусть один проект не менее эффективен, чем второй, а третий проект не зависит