200 Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

6.6. "Дисконтирование как форма отражения альтернативной доходности инвестиций. Непрерывный случай

Деньги и финансы нарушают покой не только того, кто берется за их изучение.

Фридрих фон Хайек

Исходным для нас будет понятие проекта с постоянной непрерывной доходностью. Такой проект устроен почти так же, как и проект с постоянной годовой доходностью, только получение дохода в нем происходит не один раз в год, а непрерывно (хотя и малыми порциями). Проект с постоянной нормой непрерывной доходности Ь характеризуется тем, что если в некоторый момент времени по проекту накоплен доход К, то через малое время Д? он увеличивается на величину ЪКЫ. Таким образом, за этот отрезок времени нарастает \00ЬЫ% на вложенный капитал, или, если время выражено в годах, \00Ь% годовых на вложенный капитал¹, а величина Ъ при этом имеет смысл "отдачи" на единицу вложенного капитала в единицу времени (она имеет размерность 1/единицу времени или %/единицу времени, при этом чаще всего за единицу времени принимается год). Проектом подобного типа является вложение средств, например, в Сбербанк на счет до востребования (проценты здесь начисляются ежедневно).

Как и раньше, мы ставим задачу выяснить сравнительную неравноценность разновременных доходов или расходов. Для этого установим вначале, что получит инвестор в момент времени {, вложив сумму К в момент 0. Для этого разобьем отрезок времени (0, /) на большое число N интервалов длительностью 1Д<1 каждый. За каждый такой интервал вложенная сумма увеличивается в (1 + Ы/Ы) раз, поэтому к моменту { она станет равной примерно К(\ + Ы/Ы)¹*. Если число интервалов стремится к бесконечности, полученное выражение стремится к пределу К^". Таким образом, 1 руб., вложенный в момент 0, дает еР¹ руб. в момент времени I

При наличии нескольких альтернативных проектов инвестор, естественно, предпочтет вложения в тот, которому отвечает более высокая доходность. Это позволяет ввести понятие непрерывной нормы дисконта, понимая под ней (впредь до дальнейших уточнений) наиболь-

¹ Нормы годовой и непрерывной доходности мы обозначили разными буквами. Это не случайно — легко видеть, что проект, дающий непрерывно 100*% годовых, более предпочтителен, чем проект, в котором тот же доход поступает только в конце года Обратим внимание также, что время в расчетах эффективности измеряется в годах или долях года, поэтому нормы доходности выражаются, как правило, в процентах годовых или 1/год (см. примеры 8.4 и 8.15).

Глава 6. Теоретические основы дисконтирования

201

шую непрерывную норму доходности альтернативных и доступных на рынке направлений инвестирования. Обозначим эту норму через г. Тогда инвестор, для которого доступны только проекты с доходностью г и меньшей, должен считать, что 1 руб. дохода в момент О эквивалентен е^п руб. в момент времени I Но тогда доходы в момент I должны приводиться к моменту 0 путем умножения на коэффициент дисконтирования:

сс(0 = е~^п. (6,5)

Теперь, повторяя рассуждения предыдущего подраздела, мы сможем рассчитать величину критериального показателя интегрального дисконтированного эффекта для дискретного потока, в котором поступления и расходы осуществляются через произвольные, не обязательно равные отрезки времени. Рассмотрим дискретный поток, в котором доходы Ф,, Ф₂,..., Ф_т поступают в моменты времени г,, г₂,..., 1_т. Суммируя разновременные доходы с соответствующими коэффициентами дисконтирования, получим следующее выражение для интегрального дисконтированного эффекта:

т

ф_и„_т=2^ф^^я' (6.6)

п=\

Эта формула, естественно, обобщает формулу (6.3), но формально с ней не совпадает — в первую входит непрерывная норма дисконта г, во вторую — годовая норма дисконта Е. Для того чтобы обе формулы давали тождественный результат для одного и того же денежного потока, где все платежи и поступления осуществляются с интервалом в 1 год, необходимо, чтобы выполнялось соотношение

1+Е = е^г. (6.7)

Отсюда следует, что г < Е, но если Е невелико, то разница между Е и г небольшая (г > Е —Е²/2).

Примечание. Формалисты могут придраться к этой формуле, сказав, что нормы доходности имеют размерность процентов годовых или 1/год, так что их нельзя ни складывать с единицей, ни вставлять в показатель степени. Ответить на такое возражение нетрудно. В формуле (6.3) величина Е должна рассматриваться как безразмерная. Говоря, что она выражена в процентах годовых, мы лишь отражаем ее экономическое содержание, а не "физическую" размерность. На самом деле, как уже отмечалось, доход от вложений К через год мы принимаем равным ЕК, поэтому от умножения на Е размерность дохода не меняется. Более того, если в словосочетании "годовая доходность" сделать упор на первом слове, мы увидим, что соответствующую норму нельзя применять ни к какому иному периоду, кроме года. Иная ситуация с непрерывной нормой доходности и непрерывной нормой дисконта. Они отражают процент на вложенный капитал за малый промежуток времени, отнесенный к длительности этого промежутка времени, так что размерность этой нормы — 1/единицу времени. Обычно они выражаются в процентах годовых, но их можно выражать и в процентах в месяц или в сутки. Зато в расчетной формуле для коэффициентов дисконтирования непрерывная норма

202