Глава 5. Денежные потоки по видам деятельности

173

ниц изменения некоторых его параметров приведен в п. 16.5.4, см. также примеры 6.7, 12.18 и 12.27). Именно по этой причине мы начнем рассмотрение с непрерывной модели денежных потоков.

Как уже отмечалось, инвестиционный проект имеет свое начало (момент времени I = 0) и конец (момент времени I = Г). Тогда рассматриваемый денежный поток можно охарактеризовать функцией Ф(1), отражающей эффект, исчисленный накопленным итогом¹ от начала проекта до момента I. Эта функция не обязательно непрерывна. Так, в момент поступления выручки за очередную партию продукции значение функции Ф скачкообразно увеличится на величину, равную поступившей выручке, а в момент оплаты очередной партии сырья или внесения арендной платы — уменьшится на размер платежа. Однако если подобные платежи осуществляются достаточно часто и каждый платеж невелик, то указанными скачками можно пренебречь и рассматривать функцию Ф как непрерывную. Зато если проект предусматривает кредиты, то значения функции Ф будут скачкообразно увеличиваться в моменты получения и погашения займов, и пренебрегать такими скачками уже нельзя.

В общем случае описание денежного потока, основанное на разбиении расчетного периода на отдельные интервалы времени (шаги), мы называем дискретным (<%$сге1ё), а описание того же потока через функции от непрерывно меняющегося времени — непрерывным (сопЫпиош). Иными словами, понятие непрерывности денежного потока Ф(?) относится здесь не к функции Ф (которая может быть и разрывной), а к аргументу — времени, которое рассматривается как непрерывно меняющееся. В частности, в реальном проекте, например после ввода предприятия в эксплуатацию и при отсутствии расчетов по кредитам и депозитам денежный поток может описываться непрерывной функцией времени. Тем не менее оценка эффективности такого проекта может производиться исходя из разбиения расчетного периода на шаги, т. е. из дискретного представления этого денежного потока. Тем самым антонимом к слову "непрерывный" в данной ситуации будет "дискретный", а не "разрывный".

Рассмотрим непрерывное представление денежного потока, у которого функция накопленного эффекта Ф — гладкая, т. е. имеет непрерывную производную. Тогда на протяжении малого отрезка времени (г; I + + Л?) денежный поток изменится на величину Ф(? + М) - Ф(?) = фгфЫ. Производная Ф^О при этом выражает интенсивность (скорость возрастания, плотность) денежного потока, роста денежных поступлений за малую единицу времени.

¹ Показатели, исчисленные накопленным итогом, здесь и далее именуются накопленными. В литературе в этих целях используется также термин "кумулятивный". Поэтому рассматриваемый в данном предложении показатель может именоваться также накопленным сальдо, накопленным эффектом, кумулятивным сальдо или кумулятивным эффектом.

174

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

В этой связи отметим, что в отличие от чистой математики, где функция и ее производная имеют разные названия, в экономике при рассмотрении процессов в непрерывном времени это правило иногда не соблюдается. Приведем несколько, на наш взгляд, удобных сокращений такого рода. Допустим, что накопленный поток прибыли по проекту от начала проекта до момента I выражается функцией П(7). Тогда за малый отрезок времени (?, г + М) прибыль по проекту составит П'(7)М Величину П'(0 при этом правильно называть интенсивностью прибыли или скоростью ее поступления. Однако экономисты поступают иначе. Они считают, что отрезок М — это малая единица времени (час, смена), и называют П'(0 прибылью за малую единицу времени. В дальнейшем если получаемые выводы распространяются на более длинные интервалы, то они могут принять эту малую единицу за большую и, скажем, использовать для расчета данные не за смену, а за год. Поэтому термины типа "интенсивность", "скорость" в экономике обычно не употребляются. Иногда используется и иная терминология. В рассмотренной ситуации П'(0^Д^ выражает прирост общей суммы прибыли предприятия. Поэтому для обозначения П'(0 может использоваться и термин "приростная прибыль", или "прирост прибыли за малую единицу времени". Наконец, по определению, П'(0 отражает все-таки предел отношения прироста прибыли за малый отрезок времени к длительности этого отрезка при неограниченном уменьшении последней. На этом основании тот же показатель может именоваться как предельная прибыль или маржинальная прибыль (таг§та1рго/И) — в литературе все эти термины часто встречаются.

При непрерывном представлении денежных потоков особенно наглядным становится влияние лагов. Действительно, пусть вначале никаких лагов нет, а поток поступлений от продажи продукции задается функцией П(7). Тогда если оплата продукции будет происходить с задержкой 0, то график потока поступлений сдвинется "вперед во времени" на величину задержки и сам поток будет описываться функцией П(г - 0). Наоборот, при предоплате продукции график будет сдвигаться "назад во времени" (при дискретном представлении денежных потоков таких простых преобразований уже не будет).

При дискретном описании денежного потока период реализации проекта разбивается на отдельные интервалы времени — шаги. Ниже мы дадим практические рекомендации по количеству и продолжительности таких шагов, а пока будем считать их не слишком большими (квартал, полугодие). Каждый п-й шаг (нумерацию шагов удобно начать с 0) при этом характеризуется своим началом (?„), продолжительностью (Д„) и эффектом Ф_п. Денежный поток при этом представляется последовательностью (Ф₀, Ф_а,...). При этом непрерывное и дискретное представ-