Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 665

литического решения. Между тем имеется простой приближенный метод решения задачи, который обычно дает решение, достаточно близкое к точному, и позволяет оценить допускаемую ошибку. Расширим множество допустимых значений переменных, заменив ограничение (15.1) более слабым:

О < х_п < 1 для всех п, (15.1а)

от чего значение ЧДЦ может только увеличиться. С экономической точки зрения такое ограничение означает делимость проектов — возможность осуществить не "целый" проект, а, скажем, половину или треть проекта (но не два и не полтора проекта!); такое предположение будет выглядеть более реалистичным, если понимать под реализацией половины проекта такую форму участия в нем, при которой используется половина ресурса, но и получается половина общего дохода. Наряду с исходной задачей А рассмотрим задачу Б максимизации критерия (15.3) при ограничениях (15.2) и (15.1а). Она является задачей линейного программирования и легко решается.

"Назовем набор {х_п} допустимым, если для него выполняются условия (15.1а) и (15.2), и оптимальным, если при этом критерий (15.3) принимает наибольшее значение. Вообще говоря, оптимальных наборов может быть несколько. Если это так, то рассмотрим тот из них, где количество частично принимаемых проектов — наименьшее, и выясним его свойства. При этом величину а_п = Э_п/К_п назовем удельным эффектом п-го проекта.

В силу сделанных предположений среди величин х_п есть нулевые (т. е. соответствующие проекты отвергаются). Пусть х_к = 0, х_т > 0. Увеличим х_к на Ь/К_к и уменьшим х_т на 5/7?_т, а остальные х_п оставим прежними. Нетрудно убедиться, что при малом 5 > 0 полученный набор будет допустимым, а критерий оптимальности (15.3) изменится на 8(а_к - а„). Эта величина не может быть положительной, поскольку набор {д;„} был оптимальным. Поэтому а_к < а_т т. ^..удельныйэффект каждого отвергнутого проекта не превосходит удельного эффекта любого принятого к реализации.

Те же самые рассуждения можно повторить и в случае, когда х_т = 1, х_к < 1. При этом неравенство а_к < а_т будет означать, что у всех "полностью принятых" проектов удельный эффект не меньше, чему всех "частично принятых".

Докажем теперь, что в наборе {х_п} не может быть больше одного "частично принятого" проекта. Допустим, что это не так и нашлись два проекта, например г-й и 5-й, у которых 0 <л:_г< 1,0 < Д^ < 1. Заменим теперь х_г на х_г + Ъ/К_г и я^ на я^ - Ь/К₅, оставив прежними остальные х_п. Легко проверить, что от этого критерий (15.3) изменится на 8(а_г - а₅). Поэтому, если а_г * а_а то взяв малое 5 подходящего знака, можно получить допустимый набор {х_п} с большим совокупным эффектом, что не-

666 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

возможно. Это значит, что а_г = а₅ Возьмем тогда 5 равной наименьшей из величин л:^ и (1 - х^)К_г При этом совокупный эффект не изменится, зато уменьшится количество "частично принятых" проектов, что невозможно.

Теперь можно изложить и способ построения оптимального решения. Расположим проекты в порядке убывания удельного эффекта. Тогда, как вытекает из приведенных выше рассуждений, полностью принятые проекты окажутся первыми, отвергнутые — последними, а межде ними может оказаться только один частично принятый проект. Поэтому нахождение оптимального решения сводится к последовательному принятию проектов с наибольшим удельным эффектом до тех пор, пока не будет достигнут заданный объем расхода ресурса К. Если после добавления очередного проекта расход ресурса совпадет с заданным, мы получим оптимальное решение, которое одновременно будет и решением исходной задачи А. Если же заданный расход будет превышен, то последний из проектов должен быть "реализован частично" (для него будет 0 < х_п < 1) — это дает точное решение задачи Б, неприемлемое для исходной задачи. Поэтому приближенное решение задачи А мы получим, остановившись на предыдущем шаге, т. е. отказавшись от "частичной реализации" последнего проекта и "немного не израсходовав" заданное количество ресурса.

Поэтому приближенное решение задачи А мы получим, остановившись на предыдущем шаге, т. е. отказавшись от "частичной реализации" последнего проекта и "немного не израсходовав" заданное количество ресурса.

Обычно изложенный метод применяется в условиях ограничений на общий объем первоначальных инвестиций. При этом удельные эффекты Э_п/К_п совпадают с индексами дисконтированной доходности первоначальных капиталовложений (ИДЦК, см. п. 8.2.1), уменьшенными на 1. Использование этого метода поясним примерами.

Первый пример относится к случаю, когда метод дает точное решение. Одновременно он показывает недопустимость отбора проектов в порядке убывания ВНД, о чем уже говорилось в примере 8.8.

ПРИМЕР 15.1. Инвестор располагает средствами в объеме 3000. Ему предложены четыре проекта, показатели которых сведены в следующую таблицу (норма дисконта — 10%).

Номер проекта	Денежные потоки по годам					чдд	Удельный эффект (ИДДК-1)	ВНД, %
	0	1	2	3	4
1	-1500	349	671	1231	620	720,2	0,480	28,0
2	-1500	580	679	757	802	705,0	0,470	29,0
3	-1500	843	540	669	684	682,5	0,455	30,5
4	-1500	909	594	577	599	659,9	0,440	31,0