Глава 14 о некоторых нетрадиционных подходах к оценке инвестиций

641

личиной. Стандартным винеровским процессом (процессом броуновского движения) \У_Р или Щ1) (0 < ?<оо), начинающимся в нуле, называется процесс, обладающий следующими свойствами:

для любых фиксированных (из при 0 < 1₀ < 1_г <... < (_п случайные величины Щ1_г) - Щ1₀),..., Щ1^ - - Щ1„__х) независимы;

случайная величина ЩГ) - Щ$) (V (5/): 0<$<1) имеет нормальное распределение со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной I;

5 (Щ() - Щ5) -N(0; 1-5)); ЩО) =0.

Процесс в технике носит название "белого шума" единичной

интенсивности.

Вероятностным процессом Ито Ъ,₍ (/>0) называется процесс

I I

о о

где а(() и Ъ(1) при (( > 0) — "неупреждающие" процессы, т. е. такие процессы, для которых распределения при /=5 не зависят от "будущего".

Кроме того, а(() и Ь(() должны удовлетворять условиям:

для любого (>0 Рг|[|я(5)|<&<°°1 = 1; 1?гиЬ²{5)с1$<°°\ = 1.

В частном случае, если а(1) и Ь(1) являются числами или ограниченными функциями для конечных (, эти условия всегда выполняются.

Рассматриваемый процесс может быть формально записан в виде "стохастического дифференциала":

Перейдем теперь к описанию формулы Ито (формулы замены переменных).

Пусть Р(1, х) — непрерывная функция, имеющая непрерывные частая дР д^гР , ные производные -^-,-^~ и —=?-, а с,₍ — процесс Ито с описанным выше

ОС Ол 0ОС

стохастическим дифференциалом. Тогда, как установил К. Ито, процесс Р = Р((, ^) тоже имеет стохастический дифференциал, равный:

<&<$&>

дР ,,_ч дР 1,2/,\ д^2р — + а({)~— + -Ь (0--т- д1 дх 2 Эл;

<1* + Ъ(г\Ц-<№₁.

642

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

Это формула Ито для одномерного процесса. Более общий ее вид см. в [130].

Рассмотрим примеры применения формулы Ито, используемые в основном тексте.

ПРИМЕР 14.16. Пусть в соответствии с (14.21) 5, = 5₀ • е^я', где

Н₍ = Ъ =

' а²^

I + а ■ и^_г. Выбирая в качестве функции В(1^с)5₀ ■ ё*, по-

⁴ ' П^ др ?1Р г$"Р

лучим, что а({)=\1—— =соп51; Ь(()=а= соп&1; — = 0; — = —-у = 5₀• е^х, условия, 2 61 ох ох

наложенные на а(1), Ь(1) и В(1^с), очевидно, выполнены и

,я,

5₀-е^н>+±-а²-5₀е^н

05,

( а²^

сИ + а-5₀е <<Ш_и\мт 05₁=5_г(у.0И-ас№₁).

ПРИМЕР 14.17. Пусть С(1рс) — функция, удовлетворяющая условиям непрерывности и гладкости, необходимым для применения формулы Ито. Найдем стохастический дифференциал ОС(1$^, где 5_Х — случайный процесс из предыдущего примера.

_ст2 По-прежнему <я(0 = ц-—-; Ь(()=а. Если обозначить через 5 величину 5₀ • е", то легко подсчитать, что

Эл: дз'дх ' Э5 ' дх² дх' д5 ⁺ д5² \дх) ' Э5 ⁺ ' д5² ' Подставляя эти выражения в формулу для ОР(1&, находим, что

( ^ 2

оС

+ ,,.с .^дс + ^а .<^.^{Ъ с}

ОС(1,5,):

дС .а² („ ЭС\ _с2 д²С^л

д5 2

Э5²

¹ д5 '

2 „ _а2

•Л + <т-5,-Ц-<ЯР„

ЭС 1 ₂ .2 Э²С

1—а -о —=-

Э5²

откуда с учетом (14.21) вытекает, что Л7(/Л)

(14.22)

Эг 2

01 + —05.. д5 '

Теперь приступим к выводу формулы Блэка—Шоулза, заимствованному нами из [89].

Он базируется на следующих предположениях.