Глава 14. О некоторых нетрадиционных подходах к оценке инвестиций

639

покупки опциона "колл" за 78,4 можно иметь те же результаты, если купить 0,7254 актива (акции) за 0,7254x200=145,08 и взять заем в размере 145,08 - 78,4=66,68.

Стоимость европейского опциона "колл" можно найти, разумеется, и по формуле (14.20). Действительно, исходя из заданных величин

1п(Ч

х= V ^х■?. ^П) + 2^Е. ₌ 0,599483, г-а-^ = -0,30052. По таблицам а-лД 2

стандартного нормального распределения находим Ф(г) = 0,725575, Ф\г-ол[() - 0,381892, после чего по формуле (14.20) находится

С(0 = 78,35095.

Стоимость европейского опциона "пут" легко определяется с помощью теоремы о паритете стоимостей опционов "колл" и "пут", причем дельта опциона "пут", как нетрудно видеть, равна дельте опциона "колл" — 1. Заметим, что возможно и отрицательное значение дельты опциона "пут", например равное и < 0. Это означает, что вместо покупки этого опциона тот же результат можно было бы иметь, если продать долю актива, равную (-ы5), и на полученную сумму купить безрисковых ценных бумаг.

В нашем примере стоимость опциона "пут" с той же ценой исполнения равна стоимости опциона "колл" + приведенная цена исполнения — текущая цена акции, т. е. равна: 78,4 + 174,8 - 200 = 53,2. Дельта опциона "пут" равна: 0,7254 - 1 = -0,2746. Это значит, что вместо покупки опциона "пут" за 53,2 можно было продать (у дельты знак "минус") 0,2746 актива, получив 0,2746x200 = 54,92, и купить на них безрисковые активы — государственные долгосрочные облигации и др.

В основе вывода формулы Блэка—Шоулза (см. приводимые ниже выкладки) лежит идея использования инструментария анализа случайного блуждания (броуновского движения). Именно так Л. Башелье в 1900 г. в своей диссертации "ТЬеопе де 1а зресиШгоп" первым дал математический анализ стоимости опционов и обосновал целесообразность их использования в инвестировании. Предположив, что флуктуации цен соответствуют броуновскому движению, он пришел к заключению, что предельный процесс эволюции цен рассматриваемого актива 5₁ описывается линейным броуновским движением со сносом:

5=5+ц- (+а-Ж„

где ц — сила роста цены актива; о — волатильность цены актива;

УР— стандартное броуновское движение, или винеровский процесс, т. е. случайный процесс с независимыми нормальными (гауссовски-ми) приращениями с нулевым математическим ожиданием и дисперсиями, равными времени I.

640

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

В итоге формула Башелье для определения рациональной цены европейского опциона "колл", как показано в [130], принимает вид:

5-Х\

С({) = (5-Х)Ф

а-Д^

'5-Х^

а41 ) \ Од/7

где Ф(г) — (кумулятивная) функция стандартного нормального распределения;

N(2) — функция плотности стандартного нормального распределения.

Приведенная формула обладает тем очевидным недостатком, что цены 5, могут принимать отрицательные значения.

Следующий шаг был сделан П. Самуэльсоном [172], предложившим в 1965 г. модель "экономического (геометрического) броуновского движения", согласно которой броуновскому движению подвержены флуктуации не самих цен на активы, а их логарифмов. В этом случае динамика цен представляется в виде [130]:

5₍=5-е^н', (14.21)

где 5 = сопв! — начальная цена акции;

Н₍ =

ц-

о²^

1 + а-Щ, а УУ_:— описанный выше винеровский процесс.

Как показано ниже в этом же пункте (см. пример 14.16), дифференциал этого выражения (вычисляемый с использованием формулы Ито)

равен: с15, =5₁-(\1-сИ + о-сШ₁), что можно записать (в символической форме) как —¹- = \1(Н + а-<Ш₍ аналогично зависимости—- = ц + о-е„ в мо-

дели Кокса—Росса—Рубинштейна для дискретного времени (см. п. 14.5.3).

Из модели П. Самуэльсона (с учетом ряда других обычно принимаемых допущений, таких, как постоянство процентной ставки, отсутствие затрат на трансформацию структуры активов и др.) непосредственно следует приведенная выше формула Блэка—Шоулза.

" Доказательство формулы Блэка—Шоулза, как и доказательство формулы Столла (14.19), опирается на свойства безарбитражного рынка и использует аппарат теории случайных процессов.

Вначале приведем минимально необходимые сведения из теории случайных процессов и формулу Ито.

Случайным процессом (случайной функцией) называется действительная функция %₍, такая, что при каждом I она является случайной ве-