Глава 12. Расчеты ожидаемой эффективности проекта 505

Изложенные соображения позволяют ввести в рассмотрение новый класс неопределенных проектов — проектов, параметры которых (а следовательно, и эффект) являются величинами, наделенными правдоподобием. Определения соответствующих понятий во многом аналогичны определениям, данным в предыдущем разделе.

Величиной X, наделенной правдоподобием, называется функция Х(ги), определенная при всех значениях аргумента и принимающая значения в пределах от нуля до единицы. Эта функция называется функцией относительного правдоподобия, а ее значение Х(ги) отражает степень относительного правдоподобия числа гю как возможного значения величины X. При этом в случае Х(ю) = 0 величина ю трактуется как неправдоподобное, невозможное значение X, в случае Х(ги) = 1 — как наиболее правдоподобное, наиболее возможное значение X Таким образом, задать величину X, наделенную правдоподобием, означает задать на числовой оси некоторую функцию Х(и>), значения которой, лежащие между 0 и 1, отражают в ином аспекте упомянутое ранее общее понятие о "степени возможности" событий. Величина X, наделенная правдоподобием, называется финитной, если существует такой отрезок числовой оси, что все числа, лежащие вне этого отрезка, имеют нулевое относительное правдоподобие (т. е. неправдоподобны, невозможны), и нормальной, если для нее существует наиболее правдоподобное значение, т. е. число гю такое, что Х{ш) = I¹. В этом разделе мы будем рассматривать только нормальные и финитные величины, поскольку такими обычно бывают все параметры инвестиционных проектов.

Обычные, детерминированные величины являются частным случаем величин, наделенных правдоподобием. Так, величине X, которая принимает единственно возможное значение Ь, отвечает функция относительного правдоподобия Х(и>), равная единице при ю = Ъ и нулю — при прочих значениях го. Как видим, функции правдоподобия могут быть и разрывными.

Величины, заданные интервально (см. раздел 12.4), также являются частным случаем величин, наделенных правдоподобием. Например, величине X, о которой известно только то, что ее значения лежат в пределах от а до Ъ, отвечает функция относительного правдоподобия Х(ю), равная единице при а <ю <Ь и нулю — при прочих значениях ш Степень относительного правдоподобия также нельзя отождествлять ни с вероятностью, ни со степенью принадлежности — это самостоятельная оценка "степени возможности" того или иного значения неопределенного параметра проекта, пригодная, разумеется, только для соответствующего вида неопределенности.

Практическое построение функций правдоподобия для конкретных параметров X проекта или внешней среды может быть осуществлено

¹ Точнее, верхняя грань функции Х(и/) должна быть равна 1.

506

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

путем экспертной оценки с использованием какого-либо понятного эксперту "эталона", например среднего времени задержки платежей, рассмотренного в примере 12.20. С этой целью субъекту предъявляется некоторое значение и> и предлагается сравнить, какое из утверждений более правдоподобно: 1) величина X равна (была равна или будет равна) щ 2) средняя задержка платежей равна 20 дням; 3) средняя задержка платежей равна 25 дням и т. д. По ответам субъекта на подобные вопросы можно оценить функцию правдоподобия достаточно точно.

Множеством а-уровня величины X, наделенной правдоподобием, называется множество таких чисел щ которые имеют степень относительного правдоподобия, не меньшую, чем а, т. е. такие, для которых Х(и>) >. а. Наименьшее и наибольшее числа из этого множества обозначим соответственно через т(а, X) и М(а, X).

Между двумя величинами, наделенными правдоподобием, можно установить отношение доминирования, аналогичное отношению "не меньше" между обычными числами и отношению доминирования между нечеткими величинами. А именно-, говорится, что величина X доминирует величину У и обозначается X » У, если:

• для любогозначения ю величины X найдется какое-то не большее, но не менее правдоподобное значение V величины У, т. е. такое, что V <и>; У(р) > Х(и>);

• для любого значения V величины У найдется какое-то не меньшее и не менее правдоподобное значение и> величины X, т. е. такое, что и> > V; Х(и>) < У(р).

Нетрудно проверить, что это определение эквивалентно следующему, возможно, более наглядному-. X » У, если при любом 0 < а < 1 будет

т(а, X) > т(а, У) и М(а, X) > М(а, У). (12.15)

Функции от величин, наделенных правдоподобием, определяются так же, как и для нечетких величин, т. е. формулой (12.11):

У=Р(Х) :У(ю)= тах Х(и>) для всех ш

Аналогично определяются многомерные величины (векторы), наделенные правдоподобием, и вводятся функции от них. Однако на этом сходство между нечеткими величинами и величинами, наделенными правдоподобием, заканчивается — понятие независимости вводится здесь по-другому. Пусть один параметр проекта X определен по статистическим данным и охарактеризован некоторой функцией правдоподобия Х(ьи). Пусть функция правдоподобия У(р) для другого параметра проекта У также определена по другим статистическим данным, причем наблюдения обоих параметров статистически независимы. Если объединить все ста-