Глава 12. Расчеты ожидаемой эффективности проекта

495

надлежности, в другом — как вероятность или плотность ее распределения), а заключается в том, как определяются отношения между соответствующими величинами и действия над ними. Между двумя нечеткими величинами можно установить отношение доминирования, аналогичное отношению "не меньше" между обычными числами. А именно: говорится, что величина X доминирует величину У и обозначается X » у если:

• для любого значения и> величины X найдется какое-то не большее значение V величины У с не меньшей степенью принадлежности, т. е. такое, что V < и>; У(у) > Х(ю);

• для любого значения V величины У найдется какое-то не меньшее значение и> величины X с не меньшей степенью принадлежности, т. е. такое, что ю>_у, Х(и>) > У(р).

Нетрудно проверить, что это определение эквивалентно следующему, возможно, более наглядному: X » У, если при любом 0 < а < 1 будут соблюдаться такие соотношения:

т(а, X) > т(а, У) нМ(а, X) >М(а, У). (12.10)

Так, например, любая нечеткая величина, носителем которой является отрезок от 3 до 5, будет доминировать любую другую нечеткую величину, носитель которой лежит на отрезке от 1 до 2.

Попытаемся придать смысл функциональной зависимости У = В(Х) между нечеткими величинами. Отметим, что если и> — одно из возможных значений X, имеющее степень принадлежности Х(и>), то Р(ю) должно быть возможным значением нечеткой величины У с той же самой степенью принадлежности. Однако такое определение "не проходит". Действительно, попробуем определить, что такое X². Пусть среди возможных значений X есть 1 (степень принадлежности 0,2) и -1 (степень принадлежности 0,6). Тогда возможным значением У = X² будет единица, но непонятно, какая степень принадлежности должна отвечать этому значению. В теории нечетких множеств в подобных случаях ориентируются на максимальное значение (в данном случае — 0,6). Это приводит к следующему определению.

Функцией Р(Х) от нечеткой величины X называется нечеткая величина У, для которой значение функции принадлежности У(и>) является наибольшим из всех значений Х(р), отвечающих значениям V, при которых Р(р) = и):

У = Р(Х) : У{ш)= тах Х(у) для всех ш (12.11)

496

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

Предположим, что X — интегральный эффект проекта, являющийся нечеткой величиной. Для оценки риска проекта рассмотрим индикатор риска — функцию Р(у), равную 0 при положительных V и 1 при отрицательных V. Тогда индикатор неэффективности проекта У = Р(Х) будет нечеткой величиной, равной 0, когда проект эффективен, и 1 — в противном случае. В силу равенства (12.11) соответствующая функция принадлежности в точке 1 (т. е. при неэффективности проекта) примет значение

У(и>) = шах Х(у) = тахХЫ

Таким образом, некоторой (но не вероятностной) мерой риска будет наибольшая степень принадлежности для отрицательных эффектов данного проекта.

Нечеткие величины не обязательно должны быть одномерными, они могут быть и векторами. При этом, например, нечеткий вектор 2 = (X, У) характеризуется функцией двух переменных 2.(р, и>), отражающей степень принадлежности пары (ц и>) множеству возможных значений 2 В общем случае ^-мерный нечеткий вектор задается некоторой функцией к переменных, и это так же естественно, как описание случайного вектора многомерным распределением вероятностей.

Понятие независимости двух нечетких величин дается следующим определением.

Пара нечетких величин 2= (Х,У) называется независимой, если любая пара чисел (ц и>) характеризуется степенью принадлежности множеству возможных значений 2, равной наименьшему из чисел Х(р) и У(и>):

2{у, и)) = гшп [Х(р), У(и>)]. (12.12)

Примечание. В [16] такая пара трактуется как декартово произведение соответствующих нечетких множеств.

Функцию от двух нечетких величин можно определить так же, как определялась функция от одной нечеткой величины, по той же формуле (12.11), понимая под Хи Унечеткие векторы, а под рии> — обычные векторы. Наиболее важным для нас будет вытекающее отсюда и из формулы (12.12) определение суммы независимых нечетких величин:

г=Х+У:2.{ш) = пах{гт{Х{у);У{и)-у)]} для всех ш (12.13)

V