Глава 12. Расчеты ожидаемой эффективности проекта

491

ству больше нуля, но меньше единицы и равна, например, 0,4. Параметры с такого рода возможными значениями называются нечеткими. Иными словами, в этой теории принадлежность числа к нечеткому множеству характеризуется не в терминах "да"—"нет", а количественно, некоторым числом, которое может быть единицей ("да"), нулем ("нет") или находиться между нулем и единицей.

Так же как и случайные величины, нечеткие величины могут принимать разные значения с разной "степенью возможности", однако трактовка этой "степени возможности" иная. Поэтому определение нечеткой величины в чем-то аналогично определению случайной величины как функции вероятностного распределения ее возможных значений. С другой стороны, нечеткие величины являются частным случаем так называемых нечетких (илиразмытых) множеств ($ихху $е1$), представляющих собой более общую категорию по сравнению с обычными множествами. Л. Заде, автор соответствующей теории, в предисловии к [55] так объясняет ее практическую применимость: «Первое объяснение может быть описано в терминах "мы не знаем", означая, что наше знание некоторой системы недостаточно полно для того, чтобы позволить нам использовать стандартные методы количественного анализа. Второе объяснение может быть описано в терминах "нам не так важно знать", что означает, что у нас нет необходимости знать какую-то систему с высокой степенью точности и детализации. Другими словами, нам не так важно, что информация неточна или частично недостоверна, если это может быть использовано для достижения хорошего и устойчивого решения с низкой стоимостью и хорошо согласованного с реальностью».

Рассмотрим обычное множество X каких-либо вещественных чисел. Ему отвечает так называемая характеристическая функция Х(и>), определяемая следующим образом: Х(и>) = 1, если точка и> принадлежит множеству X, и Х(и>) - 0 — в противном случае. Эта функция потому и называется характеристической, что по ее значениям можно однозначно судить о том, принадлежит какая-то точка и> множеству X или нет. Таким образом, в обычной теории множеств принадлежность точки множеству есть понятие дихотомическое — на соответствующий вопрос могут быть только два ответа.

Используя понятие характеристической функции, можно дать и несколько нетрадиционное определение интервальной неопределенности (см. раздел 12.4). А именно: вместо того чтобы говорить "неопределенная величина принимает значения из множества X и больше о ней ничего не известно", можно сказать "неопределенная величина имеет характеристическую функцию, равную Х(и>)", "неопределенная величина — это совокупность всевозможных пар [< Х(и>), и> >], в которых вторым элементом (го) может быть любое действительное число, а первым — только нуль или единица" или даже "неопределенной величиной в дан-

492

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

ном случае является функция Х(и/), определенная для всех значений аргумента и принимающая значения только 0 или 1". Несмотря на несколько шокирующие трактовки, такие определения полностью отвечают существу дела. Однако понятие обычного множества можно расширить, если разрешить характеристической функции принимать и значения, промежуточные между нулем и единицей. В этой ситуации понятие о принадлежности точки множеству "расплывается", становится нечетким, откуда и происходит название соответствующей теории¹. Это позволяет ввести следующие определения в духе предыдущих.

Нечеткой величиной X называется совокупность всевозможных пар [< Х(и/), ю >], в которых вторым элементом (ю) может быть любое' действительное число, а первым — число, лежащее между нулем и единицей. Функция Х(ю) называется функцией принадлежности для нечеткой величины X. Примерно такое определение, достаточно сложное для понимания, приводится во всех работах по теории нечетких множеств. Однако это связано с тем, что в таких работах рассматриваются не только нечеткие величины, но и другие нечеткие объекты. Для наших целей такого рода обобщения не нужны, и поэтому нам подойдет более простое, хотя и несколько непривычное, определение.

Нечеткой величиной X называется функция Х(ги), определенная при всех значениях аргумента и принимающая значения в пределах от О до 1. Эта функция называется функцией принадлежности для величины X. Ее значение Х(ю) отражает степень принадлежности числа ю множеству возможных значений величины X Таким образом, задать нечеткую величину X означает задать на числовой оси некоторую функцию Х(го), отражающую распределение ее возможных значений и "степень их возможности". Разные функции Х(ги) на числовой оси трактуются при этом как разные нечеткие величины. С этой точки зрения понятие "множество возможных значений X' в определенном смысле "исчезает" — любое вещественное число и> потенциально рассматривается как возможное значение нечеткой величины, однако "степень возможности" у различных ю разная — у одних она равна единице (это, так сказать, заведомо возможные значения X), у других она равна нулю (заведомо невозможные значения X), у третьих принимает какие-то промежуточные значения (значениях, характеризуемые определенной "степенью возможности"). Таким образом, для нечетких величин "степень возможности" характеризуется показателем степени принадлежности.

Различия между степенью принадлежности и вероятностью принципиальные, укажем пока только одно из них. Если случайная величина

¹ В англоязычной литературе используется термин /иггу, переводимый как "расплывчатый", "размытый" или "нечеткий".